60
TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.
avec l’axe des
, on aura donc
; mais, dans la même hypothèse l’équation (3) donne
et l’on a de plus ![{\displaystyle m=-{\tfrac {1}{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/750c70e6fc4aab8b737eae92e9c261f39095cfbd)
![{\displaystyle 1-m={\tfrac {3}{2}},\ \ n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},\ \ ab=ac={\tfrac {1}{3}},\ \ cn=bn={\tfrac {1}{2}},\ \ ab(1-m)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49ff0cc266b9d38ee82a17e281f84cb5bf3cd6e1)
ce qui donne
, et prouve ainsi que ce sont les signes supérieurs qu’il faut prendre.
On a donc ainsi
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}&\operatorname {Cos} .(t,x)=&a^{2}(1-m)+m,\\&\operatorname {Cos} .(t,y)=&ab(1-m)+cn,\\&\operatorname {Cos} .(t,z)=&ac(1-m)-bn\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7990ea321cefba8ab96d709dcd90e50318a28048)
et l’on aura semblablement
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {Cos} .(u,y)=&b^{2}(1-m)+m,&\qquad \operatorname {Cos} .(v,z)=&c^{2}(1-m)+m,\\\operatorname {Cos} .(u,z)=&bc(1-m)+an,&\operatorname {Cos} .(v,x)=&ca(1-m)+bn,\\\operatorname {Cos} .(u,x)=&ab(1-m)-cn\,;&\operatorname {Cos} .(v,y)=&bc(1-m)-an\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164ee2d3294ce063b24625f81b5669ad82b617fc)
d’où on conclura, par les formules connues,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x=&\left\{a^{2}(1-m)+m\right\}t+&\left\{ab(1-m)-cn\right\}u+&\left\{ca(1-m)+bn\right\}v,\\y=&\left\{b^{2}(1-m)+m\right\}u+&\left\{bc(1-m)-an\right\}v+&\left\{ab(1-m)+cn\right\}t,\\z=&\left\{c^{2}(1-m)+m\right\}v+&\left\{ca(1-m)-bn\right\}t+&\left\{bc(1-m)+an\right\}u.\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f810b4413b49dbe68e5a59e85e31a0bbb620cbf)
Ce sont là les formules demandées, dans lesquelles les cinq constantes
sont liées entre elles par les deux relations
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,\qquad m^{2}+n^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/077146c855be95c966ee3ef2f219d6d3c4b91092)
Les trois premières fixent la situation de l’axe de rotation ; les deux autres déterminent la quantité de cette rotation.