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DE LA RÈGLE.

${\frac {by'-2pa}{y'-b}}={\frac {b'y-2pa'}{y-b'}}\,;$

ou, en chassant les dénominateurs et transposant,

$(b-b')yy'+(bb'-2pa)y-(bb'-2pa')y'+2p(ab'-a'b)=0.$

Éliminant enfin $y'$ entre celle-ci et la première des équations (5) il viendra

${\frac {(bb'-2pa)y+2p(ab'-a'b)}{(b-b')y-(bb'-2pa')}}+{\frac {b''y-2pa''}{y-b''}}.$

ou, en chassant les dénominateurs et réduisant,

$\left\{bb'+bb''-b'b''-2pa\right\}y^{2}$

$+2\left\{bb'b''+p\left[b(a'+a'')-b'(a+a'')-b''(a+a')\right]\right\}y$

$+2p\left\{a'bb''+a''bb'-ab'b''-2pa'a''\right\}=0.$

En remplaçant $y^{2}$ par son équivalent $2px,$ toute l’équation sera divisible par $2,$ et pourra ensuite être écrite ainsi

$\left.{\begin{aligned}&-\left\{b'b''-p(a'+a'')\right\}\\&+\left\{b\ b'\,-p(a\ +a'\ )\right\}\\&+\left\{b\ b''-p(a\ +a''\,)\right\}\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}px&+\left\{b'b''-p(a'+a'')\right\}b\\&-\left\{b\ b'\,-p(a\ +a'\ )\right\}b'\\&-\left\{b\ b''-p(a\ +a''\,)\right\}b''\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y&-\left\{b'b''-p(a'+a'')\right\}pa\\&+\left\{b\ b'\,-p(a\ +a'\ )\right\}pa'\\&+\left\{b\ b''-p(a\ +a''\,)\right\}pa''\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}=0&\\\\\\\end{aligned}}$

ce qui revient à

(A)$\qquad \left\{b'b''-p(a'+a'')\right\}\left\{by-p(x+a)\right\}$