Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1816-1817, Tome 7.djvu/274

266

RÉSOLUTION

${\begin{aligned}&a=+{\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},\\&b=+{\tfrac {1}{2}}y-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p-{\frac {2q}{y}}}},\\&c=-{\tfrac {1}{2}}y+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p+{\frac {2q}{y}}}},\\&d=-{\tfrac {1}{2}}y-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-y^{2}-2p+{\frac {2q}{y}}}}\,;\\\end{aligned}}$

expressions qui donneront les quatre racines de la proposée, si l’on y met pour $y$ une des six valeurs connues représentées par $\pm l,\pm m,\pm n,$ n’importe laquelle.

2. Mais, pour exprimer les racines de la proposée, en fonction de celles de la réduite, nous observerons que cette réduite, d’après la théorie des équations, donne

$l^{2}+m^{2}+n^{2}=-2p,$

$l^{2}m^{2}n^{2}=q^{2}\,;$

et que, de cette dernière équation, on tire

$\pm lmn=q\,;$

le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, suivant que $q$ est positif ou négatif ; car nous supposons $l,m,n$ les racines positives de $l^{2},m^{2},n^{2}.$

Nous prendrons d’abord $q$ positif, parce que, s’il était négatif, les racines de la proposée seraient les mêmes aux signes près.

Substituant donc ces valeurs de $-2p$ et de $+q$ dans celles de $a,b,c,d,$ et prenant arbitrairement $y=l,$ ces dernières deviendront

$a={\frac {+l+m-n}{2}},$