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DES ÉQUATIONS.

$x^{3}+{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}px+q=0,$

dont les racines sont

$x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}a,\qquad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}b,\qquad x={\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}c\,;$

et pareillement l’équation conjuguée

$x^{3}+{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}px+q=0,$

dont les racines sont

$x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}a,\qquad x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}b,\qquad x={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}c.$

7. Si les racines de la proposée se présentent toutes sous une forme embarrassée d’imaginaires, ce qui arrive lorsque ${\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}$ est négatif, c’est-à-dire, lorsque les racines de la réduite, considérée comme équation du second degré, sont imaginaires ; on sait que les premières sont toutes réelles : en voici une démonstration directe et rigoureuse.

D’après la théorie générale des équations, l’équation du troisième degré, à titre d’équation d’un degré impair, doit avoir au moins une racine réelle ; ce que je pourrais d’ailleurs démontrer par mes formules.

Une des trois racines $a,b,c,$ est donc réelle ; mais, lorsque ${\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}$ négatif, une de ces racines ne peut être réelle, sans que les deux autres ne le soient aussi.

En effet, si $a$ est réelle, $b+c=-a$ est aussi réel. D’ailleurs, $q=(b+c)bc$ est réel ; donc, puisque $b+c$ est réel, $bc$ doit l’être pareillement. De plus, on a

${\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{3}}}={\frac {(b-c)\left[2(b+c)+bc\right]{\sqrt {-3}}}{2.3^{2}}},$

d’où