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RÉSOLUTION
![{\displaystyle a+b+c=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c23d1f1639ccda37b90712e6c37174cc3ee89c2)
![{\displaystyle ab+ac+bc=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d7c14c4b968a405de08b3b6e827e29f1aedde0)
![{\displaystyle abc=-q\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1fc18cf0d882c96df35219b6a3827580aa1dd58)
partant
![{\displaystyle {\frac {-3(b+c)^{2}-(b-c)^{2}}{2^{2}}}=p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/517829f733a06d505eb8f86bd4f3046c08dfa651)
![{\displaystyle {\frac {(b+c)^{3}-(b+c)(b-c)^{2}}{2^{2}}}=q\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44bae2c16abfd75bea567102202b850e69546965)
ou, en faisant ![{\displaystyle b+c=y,\ b-c=z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c65811780a4c41b3d7b48d0619bf3eaecb34bd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-3y^{2}-z^{2}=&4p,\\y^{3}-yz^{2}=&4q.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f2535b174d33cc1a5a9f67d3ee526b121853eb)
Éliminant
entre le cube de la première équation et le quarré de la seconde, on obtient
![{\displaystyle -z^{2}\left(3^{2}.y^{2}-z^{2}\right)=4^{2}\left(27q^{2}+4p^{3}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9529743d4c6ff5a54c2f935059f57e6bebbe1e)
d’où, l’on tire
![{\displaystyle {\frac {3^{2}y^{2}z{\sqrt {-3}}-3z^{3}{\sqrt {-3}}}{2^{3}.3^{3}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{4}}q^{2}+{\tfrac {1}{27}}p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dae0d045510559bd40f7db04cf822b6bd53c78d)
ajoutant et retranchant enfin cette équation successivement à l’équation
![{\displaystyle {\frac {3^{3}y^{3}-3^{3}yz^{2}}{2^{3}.3^{3}}}={\tfrac {1}{2}}q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26fd9c3ab79163208535162989f75c5d78a682c9)
le premier membre de l’équation résultante sera un cube parfait ; et en conséquence, elle prendra cette forme