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QUESTIONS
l’intégrale de cette équation (A) était le résultat de l’élimination de
et
entre les trois équations.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=\varphi '(\alpha )+\psi '(\beta ),&\qquad (1)\\y&=\varphi (\alpha )-\alpha \varphi '(\alpha )+\psi (\beta )-\beta \psi '(\beta ),&(2)\\z&=\int A\varphi ''(\alpha )\operatorname {d} \alpha -\int B\psi ''(\beta )\operatorname {d} \beta \,;&(3)\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3994eb7711b347db4ed8697ff1cde57bfe3e0456)
désignant des dérivées des deux premiers ordres.
Pour en déduire la forme des fonctions
et
qui convient à la surface dont il s’agit, nous remarquerons que la première revient à
![{\displaystyle x=\varphi '\left({\frac {pq+{\sqrt {-1-p^{2}-q^{2}}}}{1+q^{2}}}\right)+\psi '\left({\frac {pq-{\sqrt {-1-p^{2}-q^{2}}}}{1+q^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e727c00af8dd05a6b803b3dd2765a60405e7938e)
mais nous avons trouvé, d’un autre côté,
![{\displaystyle z={\frac {4a}{\varpi }}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a03a7d57f6d5994666be6e4bd287d96e4da5570)
![{\displaystyle p=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\qquad q=+{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4fbb142950f976c0aa69acbded91c3dfbfb2da)
d’où l’on voit que, lorsque
on doit avoir
; donc
![{\displaystyle 0=\varphi '\left({\sqrt {-1-p^{2}}}\right)+\psi '\left(-{\sqrt {-1-p^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b813cef66c8495d22e2e51f98d777f47bf193049)
ce qui nous apprend que les deux fonctions
et
sont ici de la même forme ; de sorte que nous pouvons poser
![{\displaystyle x=2\varphi '(\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc6a0e735780df5afcbb8a1e8a9d4ce90347635)
les deux racines de l’équation (C) sont donc égales, et conséquemment on doit avoir