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QUESTIONS

$\partial \iint \operatorname {d} x\operatorname {d} y{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}=0.$

En traitant cette équation par les procédés connus de la méthode des variations, on parvient, comme l’on sait, à l’équation du second ordre

$\left(1+q^{2}\right)r-2pqs+\left(1+p^{2}\right)t=0,\qquad$(A)

commune à toutes les surfaces qui ont, en chacun de leurs points, leurs deux courbures égales et de signes contraires.

Il est facile de s’assurer que l’équation

$z={\frac {4a}{\varpi }}\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Tang} .={\frac {y}{x}}\right)\qquad$(B)

est comprise, comme cas particulier dans cette équation générale ; on en tire en effet

$p=-{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},\qquad q=+{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},$

$r=+{\frac {8a}{\varpi }}.{\frac {xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},\quad s=+{\frac {4a}{\varpi }}.{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}},\quad t=-{\frac {8a}{\varpi }}.{\frac {xy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}.$

valeurs qui, substituées dans l’équation (A), réduit son premier membre à zéro^[1].

1. Cette vérification dissipe complètement les doutes qu’aurait pu laisser dans l’esprit le raisonnement qui a servi à parvenir à l’équation (B) ; et il est certain que cette équation est celle d’une surface qui, passant par nos diagonales inverses, jouit en outre de cette propriété ; que la portion qu’on en pourra comprendre dans une figure fermée quelconque, aura moins d’étendue que la portion correspondante de toute autre surface courbe se terminant au même