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MOUVEMENT
![{\displaystyle xy'-yx'={\sqrt {(1+\varepsilon )\mu p}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf365ccba8ea7cb9c0248b4d0a13882cf353acd)
(15)
d’où, par une nouvelle différentiation,
![{\displaystyle xy''-yx''=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de13752eca4c58ed95876d26e58e8385b5233ce)
(16)
Présentement, l’élimination de
entre les équations (6, 8) donne
![{\displaystyle (x+\varepsilon r\operatorname {Cos} .l)x'+(y+\varepsilon r\operatorname {Sin} .l)y'=0\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d84827a5afc9542be6fab17b977f324584eaa0b)
(17)
équation qui, combinée avec (15), donne, en ayant égard aux équations (3 et 5),
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x'&=-{\frac {1}{r}}(y+\varepsilon r\operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=-(\operatorname {Sin} .\alpha +\varepsilon \operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}},\\y'&=+{\frac {1}{r}}(x+\varepsilon r\operatorname {Cos} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=+(\operatorname {Cos} .\alpha +\varepsilon \operatorname {Cos} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}\,;\\\end{aligned}}\right\}(18)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e5c104ebbd642bbafee3ccf5a33827a4aa874fe)
et ensuite, par la substitution dans (6)
![{\displaystyle r'={\frac {1}{r}}(y\operatorname {Cos} .l-x\operatorname {Sin} .l){\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}=\varepsilon {\sqrt {\tfrac {\mu }{(1+\varepsilon )p}}}.\operatorname {Sin} .(\alpha -l).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea4a17a457c91aea20e3f324df343ee2a3cba31)
(19)
On tire encore des équations (18), en ayant égard à l’équation (5)
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}={\frac {\mu }{p}}.{\frac {2p-(1-\varepsilon )r}{r}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67cb37a485c20107249172cbdc6d1650437530c0)
(20)
et l’équation (19) donne, en ayant toujours égard à la même équation (5),
![{\displaystyle r'^{2}={\frac {\mu }{p}}.\left\{{\frac {2p-(1-\varepsilon )r}{r}}-{\frac {(1+\varepsilon )p^{2}}{r^{2}}}\right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6863455e786b3e922c9f607da41a173ba86197d3)
(21)
donc
![{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}-r'^{2}={\frac {\mu }{p}}.{\frac {(1+\varepsilon )p^{2}}{r^{2}}}={\frac {\mu }{r}}.{\frac {(1+\varepsilon )p}{r}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5321be98c072969d15bebe821e8aa636cf15e1a9)
(22)
Au moyen de cette dernière formule, l’équation (7) devient
![{\displaystyle xx''+yy''=rr''-{\frac {(1+\varepsilon )\mu p}{r^{2}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a7f2b04572ab5ab855a509c7391df327bb3691)
(23)
ou encore, en éliminant
au moyen de l’équation (9),