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CALCUL

il faudrait substituer, dans les équations (36), pour $a_{1}$ sa valeur $\psi \operatorname {f} \alpha ,$ conformément au n.^o 19 ; ce qui donnerait, d’après l’observation faite sur l’équation (37)

(40)$\quad \phi (b+x)=\phi b+(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-1}\operatorname {D} \phi b.y+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-2}\operatorname {D} \phi b\right\}y^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-3}\operatorname {D} \phi b\right\}y^{3}+\ldots$

Dans le cas particulier où $\psi ,$ représente la puissance $-1,$ l’équation (25) devient

(41)$\qquad y={\frac {x}{\operatorname {f} (\alpha +x)}},$

et alors l’équation (40) se change en

(42)$\quad \phi (b+x)=\phi b+\operatorname {f} \alpha .\operatorname {D} \phi b.y+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{2}\operatorname {D} \phi b\right\}y^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\operatorname {f} \alpha )^{3}\operatorname {D} \phi b\right\}y^{3}+\ldots$

On aurait de même, pour la valeur de $y$ (25),

(43)$\operatorname {F} \phi (b+x)=\operatorname {F} \phi b+(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-1}\operatorname {D.F} \phi b.y$

$+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-2}\operatorname {D.F} \phi b\right\}y^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\psi \operatorname {f} \alpha )^{-3}\operatorname {D.F} \phi b\right\}y^{3}+\ldots$

où la même observation n’a lieu qu’après l’équation (39).

25. Proposons-nous enfin de résoudre la question suivante : étant données les relations

(44)$\qquad y=x\operatorname {f} (\alpha +x),\qquad z=x\psi \operatorname {f} (\beta +y),$

développer la fonction $\phi (b+x)$ selon les puissances de $z,$ sans $x$ ni $y.$

En comparant les solutions des n.^os  précédens avec la question du n.^o 20, dont celle-ci est l’inverse, on obtient immédiatement

(45)$\quad \phi (b+x)=\phi b+(\psi \beta )^{-1}\operatorname {D} \phi b.z+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\psi \beta )^{-2}\operatorname {D} \phi b\right\}z^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\psi \beta )^{-3}\operatorname {D} \phi b\right\}z^{3}+\ldots \,;$

en observant seulement de mettre, dans le développement des dérivées de $\psi \beta ,\ \operatorname {f} \alpha$ pour $\operatorname {D} \beta ,\ \operatorname {Df} \alpha$ pour ${\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\beta ,\ {\tfrac {1}{2}}\operatorname {Df} \alpha$ pour ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\beta ,$ et ainsi de suite.

En se conformant à cette observation, on aurait de même

(46)$\operatorname {F} \phi (b+x)=\operatorname {F} \phi b+(\psi \beta )^{-1}\operatorname {D.F} \phi b.z+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} .\left\{(\psi \beta )^{-2}\operatorname {D.F} \phi b\right\}z^{2}$

$+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\left\{(\psi \beta )^{-3}\operatorname {D.F} \phi b\right\}z^{3}+\ldots$