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DES DÉRIVATIONS.
sances de cette dernière fonction, Cette question contient le problème général du retour des fonctions et des séries.
22. Proposons-nous de transformer le polynôme
(30)
![{\displaystyle \qquad A+A_{1}x+A_{2}x^{2}+A_{3}x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72eb35c21a7fb2e06dc94c97162a465bd3440f29)
procédant selon les puissances de la variable principale
, en un polynôme
(31)
![{\displaystyle \qquad B+B_{1}y+B_{2}y^{2}+B_{3}y^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca7ff01b6b54ce0a5ba9345f7a62f0e74885fe1e)
procédant selon les puissances de
dont la valeur est supposée donnée par l’équation (20)
![{\displaystyle y=x\left(a_{1}+a_{2}x+a_{3}x^{2}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b55f9d0e853c16357c114d8fb3d23ba76c5b79)
En comparant le polynôme (30) avec l’équation (21), et le polynôme (31) avec l’équation (19), on obtient
(32)
![{\displaystyle \qquad A=\phi a,\ A_{1}=\operatorname {D} .\phi a,\ A_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a,\ A_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\phi a,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e457acdb14cfb7ff334dc98857ed16d4976805)
(33)
![{\displaystyle \qquad B=\phi a,\ B_{1}=\operatorname {D} \phi a,\ B_{2}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\phi a,\ B_{3}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\phi a,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c90a454c224e8cc781631a72384b7c5388d72e73)
Ici, ce sont les dérivées suivies d’un point qui sont données immédiatement ; et la question se réduit à en déduire celles sans points. On pourrait la résoudre en tirant les valeurs de ces dernières des équations (10), par des éliminations successives ; mais, outre que ce moyen serait trop long, il est peu propre à faire découvrir la loi qui y règne : il est bien plus simple de les former immédiatement de la manière suivante.
On a, d’après les n.os 6 et 7,
et par conséquent
donc, en répétant l’opération indiquée par cette équation, on obtient
(34)
![{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&\operatorname {D} \phi a=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a,\\&\operatorname {D} ^{2}\phi a=\operatorname {D} \left(\operatorname {D} \phi a\right)=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a\right),\\&\operatorname {D} ^{3}\phi a=\operatorname {D} \left(\operatorname {D} ^{2}\phi a\right)=a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left[a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\left(a_{1}^{-1}\operatorname {D} .\phi a\right)\right],\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569f0a8e158a7e666d4128cace58762a53c5f155)