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DES DÉRIVATIONS.
tion :
étant une fonction donnée de
, ou un polynôme en
; développer, selon les puissances de
, une fonction quelconque
? En effet, d’après le n.o 3, l’équation (20) peut être mise sous la forme
(22)
![{\displaystyle \qquad y=x\operatorname {f} (\alpha +x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb17a170b6378f0c300e59a3fbc9636f876c68a)
et l’on a
(23)
![{\displaystyle \qquad a_{1}=\operatorname {f} \alpha ,\quad a_{2}=\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha ,\quad a_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha ,\quad a_{4}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}\operatorname {f} \alpha ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd99d70490608bd78049209cecc9ab9b7bc23f2)
c’est-à-dire, que
doit être considéré comme un premier terme de polynôme.
En substituant ces valeurs dans l’équation (21), on obtient
(24)
![{\displaystyle \phi \left\{a+x\operatorname {f} (\alpha +x)\right\}=\phi \left(a+\operatorname {f} \alpha .x+\operatorname {D} \operatorname {f} \alpha .x^{2}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}\operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e6732baf0132ab0e2d2df7b3d1ae48e74fbaebe)
![{\displaystyle =\phi a+\operatorname {D} .\phi a.x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{2}.\phi a.x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfb6c147ad57a2f38c5f5968e000436df43ee57c)
où, dans le développement du dernier membre, qu’on exécute d’après la règle du n.o 8, il faut substituer, pour
leurs valeurs (23).
19. Si, dans la question du n.o précédent, la valeur de
était donnée par l’équation suivante :
(25)
![{\displaystyle \qquad y=x\psi \operatorname {f} (\alpha +x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e7f89bc3927d6bf82e87757266abae71f37492)
qui, d’après le n.o 5 devient
(26)
![{\displaystyle y=x\left(\psi \operatorname {f} \alpha +\operatorname {D} .\psi \operatorname {f} \alpha .x+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \operatorname {f} \alpha .x^{2}+{\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi \operatorname {f} \alpha .x^{3}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f35e7b7b76a580423f0dcc956f417b02bd37748b)
il faudrait faire, dans le développement du dernier membre de l’équation (24),
(27)
![{\displaystyle a_{1}=\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{2}=\operatorname {D} .\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{3}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {D} ^{2}.\psi \operatorname {f} \alpha ,a_{4}={\tfrac {1}{6}}\operatorname {D} ^{3}.\psi \operatorname {f} \alpha ,\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5ea3f86c33a49ee07aeb00c810045fa3515fd1)
mais, conformément aux principes des n.os 5 et 6, ces dernières dérivées doivent être survies d’un point, et développées d’après le n.o 7.
20. Si l’on avait à développer, selon les puissances de
; la fonction
étant donné par l’équation