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CALCUL
Pour en déduire celui du même terme dans
je fais d’abord varier les
ce qui donne
faisant ensuite varier les
dans le dernier terme
on a, d’après la première partie de la règle du n.o 8,
et d’après la seconde partie de cette règle
Rassemblant tous ces termes, on a le coefficient de
dans
2.o En appliquant la seconde partie de la règle ci-dessus aux cinq termes de la dernière colonne de
on obtient les cinq premiers termes de la dernière colonne de
;
3.o Enfin, en appliquant la troisième partie de la règle ci-dessus au dernier terme
de la dernière colonne de
on obtient le dernier terme
de la dernière colonne de
Cette règle est encore d’une exécution très-facile, et si expéditive qu’on peut écrire de suite, et sans s’arrêter, les termes successifs du développement. Elle n’est, jusqu’à présent, de même que celle du n.o 8, qu’une conclusion d’induction ; mais nous la démontrerons complètement dans la suite, et nous donnerons aussi une règle très-simple, pour écrire immédiatement un terme quelconque du développement, indépendamment de ceux qui le précèdent.
16. Remarque I. En examinant la composition des termes successifs (18) du développement de l’équation (15), on découvre la loi remarquable suivante qui y règne. Le terme général
est composé de
colonnes, ordonnées selon les dimensions des exposans des dérivées de
et
de manière que la m.me colonne contient les
termes
![{\displaystyle \phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{m}\psi b}{1.2\ldots m}},\operatorname {D} \phi a.{\frac {\operatorname {D} ^{m-1}\psi b}{1.2\ldots (m-1)}},\ldots {\frac {\operatorname {D} ^{m-1}\phi a}{1.2\ldots (m-1)}}.\operatorname {D} \psi b,{\frac {\operatorname {D} ^{m}\phi a}{1.2\ldots m}}\psi b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d84ce0fc7214583146d001ad46a14bba2db19d)
Chacun de ces termes a pour coefficient une fonction des quantités polynômiales
dont voici la formation : en supposant
, le coefficient du terme
est composé de tous les produits de
lettres, dont un nombre
des