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QUESTIONS
des rapports donnés. Non seulement l’épreuve a justifié mon attente ; mais j’ai vu que la construction pouvait être démontrée très-brièvement, sans rien emprunter de la théorie des suites dont les termes sont des puissances semblables des termes d’une progression par différences.
Soit en effet divisé le diamètre
d’un cercle (fig. 7) en deux segmens, proportionnels à
et
en sorte que ces deux segmens soient
![{\displaystyle {\frac {2mr}{m+n}},\qquad {\frac {2nr}{m+n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02f39255c90ca786283d8056e54e0104b66034ed)
sur ces deux segmens comme diamètres soient décrits, de part et d’autre du diamètre total
deux demi-circonférences dont les longueurs seront conséquemment
![{\displaystyle {\frac {\varpi mr}{m+n}},\qquad {\frac {\varpi nr}{m+n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1de2510e36a1efe44a3153384284b80aab9fb6f)
leur somme sera ainsi
c’est-à-dire que, quel que soit le rapport de
à
la courbe continue formée par les deux demi-circonférences intérieures et se terminant aux deux extrémités du diamètre
est constamment égale à la demi-circonférence extérieure.
Cette courbe et le diamètre
divisent le cercle extérieur en quatre segmens
et l’on a évidemment, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\begin{aligned}M={\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {m^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},&\quad M'={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-N={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {n^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},\\\\N\,={\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {n^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}},&\quad N'\,={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-M={\tfrac {1}{2}}\varpi r^{2}-{\tfrac {1}{2}}\varpi {\frac {m^{2}r^{2}}{(m+n)^{2}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7d7bd63d8f631e01a53711ef78dcd08265ebd30)
ou, en réduisant,