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QUESTIONS

$Arc.\mathrm {CG} =Arc.\mathrm {CF} ,\qquad Arc.\mathrm {DG} =Arc.\mathrm {DF} \,;$

et l’on achèvera comme ci-dessus.^[1]

III. Soit enfin le quadrilatère gauche $\mathrm {ABBD'}$ (fig. 4), dont une des diagonales soit $\mathrm {AB} \,;$ et concevons d’abord qu’on ait fait tourner autour de cette diagonale l’un des triangles qu’elle détermine pour l’amener dans le plan de l’autre, de manière que le quadrilatère devienne plan.

Soient inscrits aux deux triangles $\mathrm {ADB,AD'B}$ des cercles, dont $\mathrm {C,C'}$ soient les centres $\mathrm {E,E} '$ les points de contact avec la diagonale, $\mathrm {G,H}$ les points de contact du premier avec les côtés $\mathrm {DA,DB} ,$ et enfin $\mathrm {G',H'}$ les points de contact du second avec les côtés $\mathrm {D'A,D'B} .$

Si, comme nous le supposons, on a la relation

$\mathrm {AD+BD'=BD+AD'} ,\qquad (1)$

On pourra la transformer en celle-ci :

$\mathrm {AG+DG+BH'+D'H'=BH+DH+AG'+D'G'} \,;\qquad (2)$

mais on a, par la propriété des tangentes,

${\begin{array}{llll}&\mathrm {DH} &=&\mathrm {DG} ,\\&\mathrm {D'G'} &=&\mathrm {D'H'} ,\\&\mathrm {AE} &=&\mathrm {AG} ,\\&\mathrm {BH} &=&\mathrm {BE} \\&\mathrm {AG'} &=&\mathrm {AE'} ,\\&\mathrm {BE'} &=&\mathrm {BH'} \,;\\\end{array}}$

ajoutant donc toutes ces équations à l’équation (2), il viendra, en réduisant

1. Ceci démontre que, sur une sphère comme sur un plan, lorsque quatre cercles se touchent deux à deux, leurs quatre points de contact sont situés sur une même circonférence, et conséquemment dans un même plan.
   (Note de l’auteur.)