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SPHÉRIQUE.

$S'>S+C'Am'\qquad$et$\qquad S'<S+CAm\,;$

mais, en prenant le rayon de la sphère pour unité, et remarquant que $AD,AD'$ sont respectivement les flèches des calotes dont les portions de fuseaux $CAm$ et $C'Am'$ font partie, nous aurons

$CAm=i(1-\operatorname {Cos} .b),$

$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b')=i\left\{1-\operatorname {Cos} .b\operatorname {Cos} .Mi+\operatorname {Sin} .b\operatorname {Sin} .Mi\right\}\,;$

mais, on a d’ailleurs

$\operatorname {Cos} .Mi=1-{\frac {M^{2}i^{2}}{1.2}}+\ldots \qquad \operatorname {Sin} .Mi={\frac {Mi}{1}}-{\frac {M^{3}i^{3}}{1.2.3}}\,;$

d’où, l’on voit qu’en substituant, $C'Am'$ prendra cette forme

$C'Am'=i(1-\operatorname {Cos} .b+Ni).$

Ainsi, en résumé, l’on aura

$S'<S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}},$

$S'=S+{\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}{\frac {i}{1}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}S}{\operatorname {d} A^{2}}}{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots ,$

$S'>S+(1-\operatorname {Cos} .b){\frac {i}{1}}+2N{\frac {i^{2}}{1.2}}+\ldots$

d’où on conclura, par le Théorème d’Arbogast,

${\frac {\operatorname {d} S}{\operatorname {d} A}}=1-\operatorname {Cos} .b.\qquad (1)$

Présentement on a, par les formules connues

$\operatorname {Cos} .c={\frac {\operatorname {Cos} .C+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .B}},$

ce qui donne, à cause de $B$ et $c$ constans et de $C$ fonction de $A$

${\frac {\operatorname {d} C}{\operatorname {d} A}}\operatorname {Sin} .C\operatorname {Sin} .A+(\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C)=0.$

Mais, on a aussi

$\operatorname {Cos} .B+\operatorname {Cos} .A\operatorname {Cos} .C=\operatorname {Sin} .A\operatorname {Sin} .C\operatorname {Cos} .b\,;$

donc, en substituant et divisant par $\operatorname {Sin} .C,$