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DE LA CYCLOÏDE.

$Mom.\mathrm {OPM} ={\tfrac {1}{3}}r^{3}\left\{9z^{2}-6tuz\left(3+2u^{2}\right)+u^{2}\left(9+3u^{2}-8u^{4}\right)\right\},$

$Mom.\mathrm {OQM} ={\tfrac {1}{6}}r^{3}\left\{t\left(15+10u^{2}-16u^{4}\right)-3z\left(5-8u^{4}\right)\right\}\,;$

divisant donc respectivement ces momens par les formules (p) et (q), on aura pour l’abscisse du centre de gravité de $\mathrm {OPM}$ et l’ordonnée de celui de $\mathrm {OQM}$

${\frac {r\left\{9z^{2}-6tuz\left(3+2u^{2}\right)+u^{2}\left(9+3u^{2}-8u^{4}\right)\right\}}{3\left\{3z-tu\left(3+2u^{2}\right)\right\}}},\qquad (ee)$

${\frac {r\left\{3z\left(5-8u^{4}\right)-tu\left(15+10u^{2}-16u^{4}\right)\right\}}{6\left\{z\left(3-4u^{2}\right)-tu\left(3-2u^{2}\right)\right\}}}.\qquad (ff)$

Voilà donc les deux coordonnées des centres de gravité des deux segmens $\mathrm {OPM,OQM}$ qui se trouvent ainsi déterminées ; le point $\mathrm {O}$ étant pris pour origine.

On trouvera, d’après cela, pour l’ordonnée et l’abscisse du centre de gravité de l’aire $\mathrm {OAO} '$ de la demi-cycloïde,

${\tfrac {5}{6}}r={\tfrac {5}{12}}\mathrm {AO} ',\qquad r.{\frac {9\varpi ^{2}+16}{18\varpi }}\,;$

et ensuite, pour l’ordonnée et l’abscisse du centre de gravité de l’espace $\mathrm {OA'O'} ,$

${\tfrac {3}{2}}r={\tfrac {3}{4}}\mathrm {OA} ',\qquad r.{\frac {3\varpi ^{2}-16}{6\varpi }}.$

Il nous reste maintenant à assigner les centres de gravité des deux autres segmens $\mathrm {MP'O',MQ'O'} .$ Ici nous prendrons le point $\mathrm {O} '$ pour origine. Nous aurons d’abord, quel que soit l’arc,

$Mom.\mathrm {MP'O'} =Mom.\mathrm {OA'O'} -Mom.\mathrm {QA'P'M} -Mom.\mathrm {OQM}$

prenant donc successivement $\mathrm {OA'}$ et $\mathrm {OA}$ pour axes des momens, cette équation deviendra

$Mom.\mathrm {MP'O'} ={\tfrac {1}{6}}r^{3}\left\{3z'+t'u'\left(3-14t'^{2}+8t'^{4}\right)\right\},$

$Mom.\mathrm {MP'O'} ={\tfrac {1}{3}}r^{3}\left\{3z'^{2}+6t'u'z'\left(1-2t'^{2}\right)+\left(1-t'^{2}\right)\left(4+7t'^{2}-8t'^{4}\right)\right\}.$

En divisant donc ces deux momens par la formule (r), on aura pour l’ordonnée et l’abscisse du centre de gravité du segment $\mathrm {MP'O',}$