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DE LA CYCLOÏDE.

base. Au moyen de ce qui précède, on obtiendra facilement la surface engendrée par un arc quelconque de la courbe, tournant autour de $\mathrm {O'A'}$ ou $\mathrm {O'A,}$ ou même autour d’une droite quelconque, puisque le centre de gravité de cet arc sera assignable.

VII. Cherchons les centres de gravité des surfaces engendrées par $\mathrm {OM}$ tournant autour de $\mathrm {OA}$ ou $\mathrm {OA} '$ ?

Nous avons déjà vu (IV) que les élémens de ces deux surfaces sont respectivement

$2\varpi y{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}},\qquad 2\varpi x{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}\,;$

d’où il suit que leur moment commun, par rapport aux plans conduits par $\mathrm {O} ,$ perpendiculairement aux axes de rotation, est

$2\varpi xy{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}=32\varpi r^{3}u^{3}\operatorname {d} z(z-tu),$

dont l’intégrale, commençant avec $z,$ est (I)

${\tfrac {32}{45}}\varpi r^{3}\left\{u\left(30+5u^{2}-9u^{4}\right)-15tz\left(2+u^{2}\right)\right\}\,;$

divisant donc cette intégrale successivement par les deux formules (c) et (d), nous aurons pour les distances du point $\mathrm {O}$ aux centres de gravité des deux surfaces,

${\frac {2r\left\{u\left(30+5u^{2}-9u^{4}\right)-15tz\left(2+u^{2}\right)\right\}}{15(1-t)^{2}\left(2+t^{2}\right)}},\qquad (k)$

${\frac {2r\left\{u\left(30+5u^{2}-9u^{4}\right)-15tz\left(2+u^{2}\right)\right\}}{15\left\{u\left(3-u^{2}\right)-3tz\right\}}},\qquad (l)$

Dans le cas où il sera question des surfaces engendrées par la révolution de l’arc entier $\mathrm {OO} ',$ ces deux expressions deviendront également

${\tfrac {26}{15}}r={\tfrac {13}{15}}\mathrm {OA} '.$

On pourra facilement, d’après ces résultats, trouver le centre de gravité de la surface engendrée par un arc quelconque de la courbe, tournant autour de $\mathrm {OA}$ ou $\mathrm {OA} '.$

VIII. Cherchons les centres de gravité des surfaces engendrées par l’arc $\mathrm {MO} ',$ tournant autour de $\mathrm {O'A'}$ et $\mathrm {O'A}$ ?

Ces surfaces ayant pour élémens respectifs