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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE
![{\displaystyle {\begin{aligned}X'.4ru'&=4r\left(\varpi r-{\tfrac {4}{3}}r\right)-4r(1-u')\left\{\varpi r-{\frac {2r\left[t'\left(3-t'^{2}\right)-3u'z\right]}{3(t-u')\,;}}\right\}\\Y'.4ru'&=4r\left(2r-{\tfrac {4}{3}}r\right)-4r(1-u')\left\{2r-{\tfrac {2}{3}}(1-u')(2+u')\right\}\,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d636e89161e4f4f6bab74bfdb59075cfb6182ee)
d’où on tire, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}X'&={\frac {2r\left\{3u'z'-(1-t')^{2}(2+t')\right\}}{3u'}},\\Y'&={\tfrac {2}{3}}ru'^{2}={\tfrac {1}{3}}\mathrm {O} 'Q'.\\\end{aligned}}\right\}\qquad (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc87674e2bac5364e35307f278b2e703aeed24ab)
Cette dernière formule prouve que le centre de gravité de tout arc de cycloïde qui a son milieu à son sommet
est au tiers de sa flèche, à partir de ce sommet. D’après les précédens résultats, la recherche du centre de gravité d’un arc quelconque de cycloïde ne saurait offrir de difficulté.
VI. Cherchons les surfaces engendrées par l’are
tournant autour de
ou
?
Suivant la règle centrobarique, ces surfaces seront les produits respectifs de la formule (b) par
et
ce qui donnera
![{\displaystyle {\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}u'^{3}={\tfrac {4}{3}}.2\varpi .\mathrm {MP} .{\tfrac {1}{2}}Cord.\mathrm {MD} ',\qquad (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ed2fb677ee0b2db8fa9817b8014d64369feaf34)
![{\displaystyle {\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}\left\{3u'z'-(1-t')^{2}(2+t')\right\}.\qquad (h)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42008f5c59df628abe833b64ac8b4d3028a8c610)
La première sera donc les
de la surface engendrée par la tangente
tournant autour du même axe.
S’il s’agit de l’arc entier
on aura, pour la première surface,
![{\displaystyle {\tfrac {16}{3}}\varpi r^{2}={\tfrac {4}{3}}Arc.\mathrm {OA} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e02c429b2674daa8d7f25225d39edf71ebe7691)
c’est-à-dire, la moitié de la surface engendrée par le même arc autour de
On aura ensuite, pour la seconde
![{\displaystyle {\tfrac {8}{3}}\varpi r^{2}(3\varpi -4)=4\varpi r.2\varpi r-{\tfrac {32}{3}}\varpi r^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fefb78f5499054cf729195aa7d69fa7fe839e03)
résultat qui prouve (IV) que la somme des surfaces engendrées par la demi-cycloïde
, tournant successivement autour de
et
est égale à la surface convexe du cylindre engendré par le rectangle circonscrit à la cycloïde entière, tournant autour de sa