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FORMULES

${\begin{array}{rccrc}e=&{\frac {144}{169}}&\qquad \quad &i=&{\frac {144}{268}},\\f=&{\frac {144}{169}},&\qquad \quad &h=&{\frac {144}{293}},\\&&g={\tfrac {144}{280}}.&&\end{array}}$

Achevant le calcul, on trouvera finalement

${\frac {\varpi }{4}}=0{,}7853981728,$

valeur exacte $\,=0{,}7853981634,$

erreur $\ +0{,}0000000094.$

L’erreur de notre douzième formule est seulement

$-\,0{,}0000000003\,;$

c’est-à-dire, environ trente fois moindre.

14. Dans le calcul des formules générales (7), je me suis arrêté au diviseur $12.$ J’aurais désiré de pouvoir continuer cette table jusqu’au diviseur $24\,;$ mais l’immensité du travail m’a effrayé. Il doit sans doute y avoir quelque méthode beaucoup plus abrégée que celle que nous avons suivie ; mais jusqu’ici, au moins, je l’ai cherchée vainement. Nous allons voir, au surplus, qu’à l’aide de ces formules (7), on peut aisément parvenir à d’autres, beaucoup plus approchées, en partageant l’intervalle entier qui sépare les deux ordonnées extrêmes, en plusieurs autres intervalles égaux entre eux.

15. En continuant de désigner les ordonnées, séparées les unes des autres par des intervalles égaux entre eux, par les lettres $a,b,c,d,\ldots$ se succédant constamment suivant l’ordre alphabétique, sans omission d’aucune lettre intermédiaire ; on voit qu’une portion quelconque de notre aire curviligne sera clairement désignée par les deux ordonnées extrêmes qui la comprendront. Convenons donc, par exemple, que le symbole ($\mathrm {DN} )$ représentera l’aire curviligne terminée par les deux ordonnées $d$ et $n$ ; en employant des lettres majuscules de préférence aux autres, pour prévenir l’équivoque, et renfermant le tout entre deux parenthèses.