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DE LA CYCLOÏDE.
L’élément de la seconde surface est
![{\displaystyle 2\varpi x{\sqrt {\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}}}=16\varpi r^{2}u\operatorname {d} z(z-tu),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e978fc2c66f4c7107346942d05693e4e804ff1)
dont l’intégrale, commençant avec
est (I)
![{\displaystyle {\frac {16}{3}}\varpi r^{2}\left\{u\left(3-u^{2}\right)-3tz\right\}.\qquad (d)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff0c25368d518a54686ecd51af18d841d67e8650)
De là on conclura, pour la surface engendrée par l’arc entier
tournant autour de
![{\displaystyle {\frac {32}{3}}\varpi r^{2}={\frac {32}{3}}\operatorname {Cer} .r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e5c9aa425d89fd1fa4b7a6cad28db1af282db6c)
Il est très-remarquable que la surface engendrée par l’arc
est toujours de même étendue, soit que cet arc tourne autour de
ou qu’il tourne autour de
On pourra évidemment, par ce qui précède, obtenir la surface engendrée par un arc quelconque de la courbe, tournant autour de
ou
V. Cherchons les coordonnées du centre de gravité de chacun des deux arcs indéfinis
et
?
Soient
les coordonnées, pour l’origine
du centre de gravité du premier de ces deux arcs ; soient
les coordonnées, pour l’origine
du centre de gravité du second.
Suivant la règle centrobarique,
et
seront les quotiens respectifs des formules (d) et (c) par la formule (a) multipliée par
de sorte qu’on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}X&={\frac {2r\left\{u\left(3-u^{2}\right)-3tz\right\}}{3(1-t)}},\\Y&={\frac {2}{3}}(1-t)(2+t).\\\end{aligned}}\right\}\qquad (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0a96585ed5b4644da46f1cf4c1c72513773ebb3)
Dans le cas oh il s’agira de l’arc entier
on aura
![{\displaystyle X=Y={\frac {4}{3}}r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66305565688327a8872cfdea4d3448fc8f21f5cb)
Or, on a, en général
![{\displaystyle Mom.\mathrm {MO} '=Mom.\mathrm {OO} '-Mom.\mathrm {MO} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4d04a5cbbc6eb00bd8278aa69521b159a3adb0)
prenant donc successivement
et
pour axes des momens, il viendra