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FORMULES

égal lui-même à l’unité ; ainsi, dans ce cas, les valeurs de $\int X\operatorname {d} x,$ déduites des formules précédentes, doivent toutes se réduire à l’unité ; ce qui peut servir, au besoin, à vérifier simplement l’exactitude des coefficiens de nos formules.

9. Faisons l’essai de ces formules à quelques cas connus ; et cherchons, par le moyen de l’une d’elles, le rapport du diamètre à la circonférence. On sait que l’intégrale de ${\frac {\operatorname {d} t}{1+t^{2}}}$ est l’arc qui a pour tangente le nombre désigné par $t,$ et qu’en y supposant $t$ égal à l’unité, cette intégrale doit faire connaître la longueur de l’arc de $45^{\circ }$ ou ${\tfrac {\varpi }{4}}.$ Prenant, par exemple, sept pour diviseur général, on aura

${\begin{array}{rcrc}a=&1,&h=&{\tfrac {1}{2}},\\b=&{\tfrac {49}{50}},&g=&{\tfrac {49}{85}},\\c=&{\tfrac {49}{53}},&f=&{\tfrac {49}{74}},\\d=&{\tfrac {49}{58}},&e=&{\tfrac {49}{65}}\,;\\\end{array}}$

ce qui donne

${\begin{array}{rcc}a+h=&{\tfrac {3}{2}}=&{\tfrac {3}{2}},\\b+g=&{\tfrac {49.135}{50.85}}=&{\tfrac {1323}{850}},\\c+f=&{\tfrac {49.127}{53.74}}=&{\tfrac {6222}{3922}},\\d+e=&{\tfrac {49.123}{58.65}}=&{\tfrac {6027}{3770}}\,;\\\end{array}}$

donc

${\begin{array}{rl}751(a+h)=&1126,5000000000,\\3577(b+g)=&5567,4952941176,\\1323(c+f)=&2099,1914809368,\\2989(d+e)=&4778,4358090186.\\\end{array}}$

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$17280{\tfrac {\varpi }{4}}=13571,6225870730\,;$

d’où ${\tfrac {\varpi }{4}}=\quad \quad 0,7853948256.$

Sa longueur réelle est $\qquad \qquad 0,7853981634\,;$

l’erreur est donc$\qquad \qquad -0,0000033378,$