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THÉORIE GÉOMÉTRIQUE
5.o Si les formules à intégrer sont de l’une des deux formes
![{\displaystyle \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{2n}z,\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\operatorname {Sin} .^{2n}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ccee6dc35e5333b036abdb6e2aab4eb7615462)
on leur substituera leurs équivalentes
![{\displaystyle \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\left(1-\operatorname {Sin} .^{2}z\right)^{n},\qquad \operatorname {d} z\operatorname {Cos} .^{m}z\left(1-\operatorname {Cos} .^{2}z\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aafb4604592d04a60e60e04fa0524640f7af9ca)
lesquelles, par le développement, donneront une suite de termes qui rentreront dans l’un des cas (2.o ) et (4.o ).
On sait donc, par ce qui précède, intégrer, sous forme finie, toute formule de la forme
![{\displaystyle \operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3429dccc4463ef94c75301c0ab95b08ff33697d9)
et
étant des nombres entiers positifs quelconques ou zéro.
6.o Soit présentement une formule de la forme
![{\displaystyle z^{k}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138dca1bd68cc87122aa4acdf661a69eaff0dcfa)
l’intégration par parties donnera z
![{\displaystyle \int z^{k}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z=z\int z^{k-1}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d97d2700a1fd5f1e3349963b0c35fe6f6df2f6b4)
![{\displaystyle -\int \operatorname {d} z\int z^{k-1}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z\operatorname {Cos} .^{n}z\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e64ee2e68893576e097a2fe33ad33f7dcab2f0)
(E)
au moyen de quoi on ramènera, par degrés, l’intégration demandée à
que nous avons traitée dans les numéros précédens.
II. Soient
respectivement (fig. 1) la demi-base et la montée d’une cycloïde, et soient menées
respectivement parallèles à ces deux droites. Par un quelconque
des points de la courbe, soient menées aux mêmes droites les parallèles
terminées aux quatre droites. Soit
le lieu du centre du cercle générateur, pour sa position où le point décrivant est en
et soit
son diamètre parallèle à
coupant
en
soient enfin menées
et soient
Nous prendrons
![{\displaystyle {\begin{array}{llllll}\mathrm {OP} &=\mathrm {QM} &=x,&\mathrm {MP} &=\mathrm {QO} &=y,\\\mathrm {O'P'} &=\mathrm {Q'M} &=x',&\mathrm {MP'} &=\mathrm {Q'O'} &=y',\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625bf41ed8aea0c3df798f4c825d3aa03287705e)