325
NOUVEAUX.
les axes des coordonnées soient les diamètres principaux ; et concevons de plus que
soient trois diamètres conjugués quelconques de cette seconde surface ; nous exprimerons cette circonstance par les trois équations de condition
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\alpha a'a''+\beta b'b''+\gamma c'c''&=0,\\\alpha a''a\ +\,\ \beta b''b+\ \gamma c''c&=0,\\\alpha aa'\ \ +\ \ \beta bb'+\ \ \gamma cc'&=0,\end{aligned}}\right\}(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380cd5f589f8983a2ff21aebcdc4221021649ad3)
dans lesquelles
sont trois constantes ne dépendant que des dimensions de la seconde surface.
Si l’on prend successivement les différences deux à deux des produits respectifs de ces équations d’abord par
puis par
il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\alpha a''(ab'-\ \ ba')&=\gamma c''(bc'-cb'),\\\alpha a(a'b''-b'a'')&=\gamma c(b'c''-c'b''),\\\alpha a'(a''b-\ b''a)&=\gamma c'(b''c-c''b)\,;\\\end{aligned}}\right\}(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947852b88dd9a81eb69cdbf93b94821b41815da9)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\beta b''(ab'-\ \ ba')&=\gamma c''(ca'-ac'),\\\beta b(a'b''-b'a'')&=\gamma c(c'a''-a'c''),\\\beta b'(a''b-\ b''a)&=\gamma c'(c''a-a''c).\\\end{aligned}}\right\}(9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bad0566b5e84999e0c4bd3fb229b4bdc000fd85)
En prenant la somme des produits respectifs des équations (8) par ![{\displaystyle a''cc',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823cb0a9eefa04d70dd1b919f01827129ce6739c)
et la somme des produits respectifs des équations (9) par ![{\displaystyle b''cc',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70df72617a5a79df1bdcc1f9ecda846a3841ac97)
et ayant égard aux équations (5), il vient simplement
![{\displaystyle \alpha d=\gamma f,\qquad \beta e=\gamma f\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27fba830bf493ae87e3a3b9fbcb7e0855a274aa3)
(10)
éliminant enfin
et
de la formule (6), au moyen de ces deux dernières équations,
disparaîtra aussi de lui-même, et il viendra
![{\displaystyle z={\frac {2\alpha \beta NPQ}{\beta \gamma NQ+\alpha \gamma NP+2\alpha \beta PQ}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc72a98084be38e0dbd6b055eb6cc87286181da1)
(11)
quantité constante. De là résulte ce théorème :
THÉORÈME II. Si l’on conçoit, dans l’espace, deux surfaces quelconques du second ordre, telles que le centre de la seconde