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QUESTIONS
7. La loi des valeurs de
dans cette dernière table, ne se présente pas si facilement que dans la première. Cependant, avec de l’attention, on parvient à trouver que ces valeurs peuvent être exprimées par la formule
![{\displaystyle Y_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.\ldots p}}\left\{p^{c}+0.{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+1.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{1.2}}(p-2)^{c}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18ea3f821e6782602655a332259f0baefb3379c)
![{\displaystyle \left.+2.{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}{\frac {p-2}{3}}(p-3)^{c}+\ldots \right\}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4ded4de0d62a10446b53ec5d8e2674e3b0143bd)
(D)
dans laquelle les coefficiens
sont liés entre eux par les équations.
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=1.1-1,\\1&=2.0+1,\\2&=3.1-1,\\9&=4.2+1,\\44&=5.p-1,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c4b908653dfbacdfcc1bbf60f8c0e57844f3c0)
ou, en général,
![{\displaystyle a_{n}=n.a_{n-1}+(-1)^{n}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a623ebf8f35676cfb2f1b74ea01aebee44c6e690)
(E)
le quantième
du premier terme de la formule étant ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)
On s’assure ensuite, par un calcul effectif, qu’elle satisfait à l’équation (C). De plus, en faisant
elle se réduit à l’unité, ce qui vérifie les valeurs initiales ; d’où il suit que cette formule résout le problème proposé. L’expression générale des coefficiens
est au surplus