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D’INTÉGRATION.

en même temps $x=0,{\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x}}=0\,;$ ce qui exîge que l’expression de $y'$ ne renferme point la première puissance de $x.$ Pour plus d’uniformité, nous en exclurons également toutes les autres puissances impaires, et nous poserons simplement

$y'=A+Bx^{2}+Cx^{4}+Dx^{6}+Ex^{8}+\ldots \,;$

il s’agira donc de déterminer le coefficient $A,$ auquel se réduit $y'$ lorsque $x=0.$

12. En prenant ${\tfrac {1}{12}}c$ pour unité, il faudra donc qu’aux valeurs $1,2,3,4,6,12$ de $x$, répondent pour $y'$ les valeurs $b'_{1},b'_{2},b'_{3},b'_{4},b'_{6},b'_{12},$ ce qui donnera

${\begin{alignedat}{1}b'_{1}\ =&A+\quad \ \,B+\quad \ \,C+\quad \ \ D+\quad \ \,E+\quad \ \ \ F,\\b'_{2}\ =&A+\ \ 2^{2}B+\ \ 2^{4}C+\ \ 2^{6}D+\ \ 2^{8}E+\ \ 2^{10}F,\\b'_{3}\ =&A+\ \ 3^{2}B+\ \ 3^{4}C+\ \ 3^{6}D+\ \ 3^{8}E+\ \ 3^{10}F,\\b'_{4}\ =&A+\ \ 4^{2}B+\ \ 4^{4}C+\ \ 4^{6}D+\ \ 4^{8}E+\ \ 4^{10}F,\\b'_{6}\ =&A+\ \ 6^{2}B+\ \ 6^{4}C+\ \ 6^{6}D+\ \ 6^{8}E+\ \ 6^{10}F,\\b'_{12}\ =&A+12^{2}B+12^{4}C+12^{6}D+12^{8}E+12^{10}F\,;\end{alignedat}}$

et, en éliminant, entre ces six équations, les cinq coefficiens $B,C,D,E,F,$ la valeur de $A$ que l’on tirera de l’équation finale, en fonction de $b'_{1},b'_{2},b'_{3},b'_{4},b'_{6},b'_{12},$ sera, pour $c=12,$ l’intégrale demandée ; nous avons vu d’ailleurs qu’on a

${\begin{aligned}b'_{1}&={\tfrac {1}{2}}b_{0}+\ \ b_{1}+\ \ b_{2}+\ \ b_{3}+b_{4}+b_{5}+b_{6}+b_{7}+b_{8}+b_{9}+b_{10}+b_{11}+{\tfrac {1}{2}}b_{12},\\b'_{2}&=\ \ \ b_{0}+\ \ b_{2}+\ \ b_{4}+\ \ b_{6}+b_{8}+b_{10}+b_{12},\\b'_{3}&={\tfrac {1}{2}}b_{0}+3b_{3}+3b_{6}+3b_{9}+{\tfrac {1}{2}}b_{12},\\b'_{4}&=\ 2b_{0}+4b_{4}+4b_{8}+2b_{12},\\b'_{6}&=\ 3b_{0}+6b_{6}+3b_{12},\\\end{aligned}}$

$b'_{12}=6b_{0}+6b_{12}.\qquad$^[1]

1. Je dois l’idée, très-ingénieuse, qui sert de fondement à cette nouvelle méthode d’intégration à M. d’Obenheim, ancien sous-directeur des fortifications