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MÉTHODE

$b,b'$ de cette courbe répondant respectivement aux abscisses $a$ et $a',$ C’est même de là que ce problème a été appelé problème des quadratures, et c’est sous ce point de vue que nous l’envisagerons constamment, dans tout ce qui va suivre.

2. Soit fait, pour abréger $a'-a=c$ ; et, pour fixer les idées, imaginons que l’on ait divisé l’intervalle $c$ en douze parties égales ; désignons par $a_{0},a_{1},a_{2},$$\ldots a_{10},a_{11},a_{12}$ les abscisses qui répondent aux treize points de divisions ; au moyen de l’équation $y=X,$ nous pourrons calculer les ordonnées qui leur correspondent ; représentons-les respectivement par $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots b_{10},b_{11},$$b_{12}\,;$ nous connaîtrons ainsi treize points de la courbe qu’il s’agit de quarrer entre les limites $x=a_{0}$ et $x=a_{12},$ pour lesquelles on a respectivement $y=b_{0},y=b_{12}.$

3. Soient joints les deux points extrêmes $\left(a_{0},b_{0}\right),\left(a_{12},b_{12}\right)$ par une corde, cette corde, avec sa projection $c$ et les deux ordonnées extrêmes formera un trapèze ; en désignant son aire par $S_{12},$ et posant

$12\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{12},$

nous aurons

$S_{12}={\tfrac {1}{12}}cb'_{12}.$

4. Soient joints consécutivement les trois points $\left(a_{0},b_{0}\right),$ $\left(a_{6},b_{6}\right),$ $\left(a_{12},b_{12}\right)$ par deux cordes ; ces cordes formeront, avec $c$ et les trois ordonnées $b_{0},b_{6},b_{12},$ deux trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par $S_{6},$ et posant

$6\left({\tfrac {1}{2}}b_{0}+b_{6}+{\tfrac {1}{2}}b_{12}\right)=b'_{6},$

nous aurons

$S_{6}={\tfrac {1}{12}}cb'_{6}.$

5. Soient joints consécutivement les quatre points $\left(a_{0},b_{0}\right),\left(a_{4},b_{4}\right),$$\left(a_{8},b_{8}\right),\left(a_{12},b_{12}\right)$ trois cordes ; ces cordes formeront, avec $c$ et les quatre ordonnées $b_{0},b_{4},b_{8},b_{12},$ trois trapèzes ; en désignant la somme de leurs aires par $S_{4},$ et posant