Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1815-1816, Tome 6.djvu/288

278

QUESTIONS

QUESTIONS RÉSOLUES.

Solution des deux problèmes de géométrie proposés à
la page 356 du V.^e volume des Annales ;^[1]

Par M. J. B. Durrande.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Problème I. Construire un triangle dans lequel on connaît seulement les distances des sommets au centre du cercle inscrit ?

Solution. Tout se réduit évidemment à trouver le rayon du cercle inscrit. Soit donc $R$ ce rayon ; soient $\mathrm {A,B,C}$ les sommets du triangle et $a,b,c$ leurs distances respectives aa centre du cercle ; on aura

$R=a\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} ,\qquad R=b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} ,\qquad R=c\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \,;\qquad$(1)

mais on sait que, $\mathrm {A,B,C}$ étant les trois angles d’un triangle, on a

$2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} +\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -1=0\,;$

substituant dans cette dernière équation les valeurs données par les équations (1), il viendra, toutes réductions faites,

1. Ces problèmes ont déjà été résolus à la page 129 de ce volume ; mais les solutions que l’on va lire nous ont paru différer assez des premières pour mériter d’être mentionnées.
   J. D. G.