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QUESTIONS
![{\displaystyle Z_{(c,p)}={\frac {1}{1.2.3\ldots p}}\left\{p^{c}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{c}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{c}-\ldots \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/902968a6483a5fc443190a97252bca16ed250e7d)
(B)
et on s’assure ensuite, par le calcul, que cette expression de
satisfait réellement à l’équation (A) ; mais il faut de plus que les valeurs initiales soient vérifiées. Or, si
la formule se réduit, en effet, à l’unité, il en est de même, dans le cas de
en vertu du théorème connu :
![{\displaystyle 1.2.3\ldots p=p^{p}-{\frac {p}{1}}(p-1)^{p}+{\frac {p}{1}}.{\frac {p-1}{2}}(p-2)^{p}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7b097a097b22925b6622bcfeeacae679671e559)
ainsi, cette formule est démontrée.
6. Nous avons supposé jusqu'ici qu’aucune part ne devait être nulle. Admettons maintenant qu’un nombre quelconque de parts puissent l’être ; et nommons
le nombre des répartitions possibles dans cette nouvelle hypothèse. L’ensemble de toutes ces répartitions pourra être distribué en
espèces, suivant que le nombre des parts non nulles, qui ne saurait être zéro, sera
Soit
un quelconque de ces nombres. Le nombre des répartitions dans lesquelles
parts ne sont pas nulles est, par ce qui précède,
donnant donc successivement à
toutes les valeurs, depuis
jusqu’à
inclusivement, on aura
![{\displaystyle Y_{(c,p)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de3d01b87a472d1cdc1c9b0b6cf8686f972e10e2)
on aurait de même
![{\displaystyle Y_{(c,p-1)}=Z_{(c,1)}+Z_{(c,2)}+Z_{(c,3)}\ldots +Z_{(c,p-1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f156d72cd56aaaf54ee5a5fff9bc9c3d1723551e)
d’où, en retranchant et transposant
![{\displaystyle Y_{(c,p)}=Y_{(c,p-1)}+Z_{(c,p)}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d8d2dd3f55c0995c3bf30b1fc97b513ddc4ab4)
(C)
Ainsi, au moyen de la table précédente, et des valeurs initiales de
savoir
pour toutes les valeurs de
on construira facilement la table relative à la seconde hypothèse, par de simples additions.