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SUR LES PRINCIPES
Soient
respectivement, les angles que forme la direction de la résultante
avec les axes des
ces angles seront connus par les équations de cette résultante, et l’on aura
![{\displaystyle P\operatorname {Cos} .\alpha =\Sigma .X',\quad P\operatorname {Cos} .\beta =\Sigma .Y',\quad P\operatorname {Cos} .\gamma =\Sigma .Z'.\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9b6d1e2b03ee2fd2e003c99aa334e2da2f3bb5d)
(4)
Cela posé, si l’on imagine un plan normal à la direction de la résultante, et passant par son point d’application ; en désignant par
les coordonnées de ce point, la perpendiculaire abaissée sur ce plan du point
aura pour longueur
![{\displaystyle (x'-a)\operatorname {Cos} .\alpha +(y'-b)\operatorname {Cos} .\beta +(z'-c)\operatorname {Cos} .\gamma .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b501d2c677c3341c97c7e821dd894f4aebcde3e7)
(5)
Si ensuite on décompose chacune des forces
en deux autres, l’une perpendiculaire et l’autre parallèle au plan dont il s’agit, les composantes de la première sorte seront
![{\displaystyle X'\operatorname {Cos} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a69c2d30bde6592da1c3ecf3cea6a57f7ba01e5)
pour la force
![{\displaystyle X',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5bd0a1ea422cd200c561e4dda04cfb07b53411)
![{\displaystyle Y'\operatorname {Cos} .\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfcdb172a8c8afd2fb862c8ae1cb30dcd051229)
pour la force
![{\displaystyle Y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13316d9fa30e5a5d728970248cf43da582fe85da)
![{\displaystyle Z'\operatorname {Cos} .\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d1ea648c732ee662d6508daddbb63881b92598)
pour la force
![{\displaystyle Z'\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d024bf39ef11e9f4351bf7a09b94b7f08636fb9d)
d’où il suit que
![{\displaystyle X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b9cb85a1e7f8def0a650d58eb1d63fba40a960)
(6)
sera la composante totale de
parallèle à la résultante, et qu’ainsi son moment par rapport à notre plan normal sera (5)
![{\displaystyle (X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma )\left\{(x'-a)\operatorname {Cos} .\alpha +(y'-b)\operatorname {Cos} .\beta +(z'-c)\operatorname {Cos} .\gamma )\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7b8143d446019cddf94fb22a1e1789508e9a3a)
(7)
ou, en développant,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{rl}&\ \ \ \quad \qquad x'X'\operatorname {Cos} .^{2}\alpha +(y'Z'+z'Y')\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma \\&\quad \qquad +y'Y'\operatorname {Cos} .^{2}\beta +(z'X'+x'Z')\operatorname {Cos} .\gamma \operatorname {Cos} .\alpha \\&\quad \qquad +z'Z'\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +(x'Y'+y'X')\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \\&-(a\operatorname {Cos} .\alpha +b\operatorname {Cos} .\beta +c\operatorname {Cos} .\gamma )(X'\operatorname {Cos} .\alpha +Y'\operatorname {Cos} .\beta +Z'\operatorname {Cos} .\gamma )\\\end{array}}\right\}(8)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75901187c59eed0164d604c2b1321d01be094f52)