ou, en transposant et multipliant par 2,
En quarrant et réduisant, cette inégalité devient
Or, puisqu’on suppose que n’a pas la moitié du nombre des chiffres de et à plus forte raison n’aura pas autant de chiffres que d’où il suit qu’en effet sera une véritable fraction, comme l’exprime l’inégalité ci-dessus.
Voilà donc déjà notre procédé devenu bien simple ; mais, quelque facile qu’il puisse être de prendre la demi-somme de deux nombres, si l’on faisait le calcul avec beaucoup de chiffres décimaux, on pourrait se trouver entraîné à répéter un grand nombre de fois cette opération, avant d’être parvenu à anéantir totalement la différence entre deux termes consécutifs : voyons donc si nous ne pourrons point encore nous épargner ce travail.
Soient respectivement, deux termes consécutifs d’une suite dont chaque terme est la demi-somme des deux qui le précèdent immédiatement ; les termes subséquens de cette suite seront
et il s’agira de connaître le dernier terme de cette suite, prolongée à l’infini. Pour le découvrir, donnons à ces termes cette autre forme
on verra alors que son terme général est
Or, dans le cas de infini, la seconde partie de cette valeur s’évanouit ; d’où il suit que le dernier terme de la série est On pourra donc, dès qu’on sera parvenu à deux termes consécutifs différant dans moins de moitié de leurs chiffres décimaux, calculer