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RAPPORT DE LA CIRCONFÉRENCE
Cette proposition peut encore être démontrée trigonométriquement ainsi qu’il suit :
On a d’abord évidemment
![{\displaystyle r=R\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}\qquad (1)\qquad r'=R'\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}\,;\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8390cea7beebdde2f18cc900270a45ddb2e77c36)
de plus, les périmètres des deux polygones étant ![{\displaystyle 2mr\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c1340261971d2995b4b6a89b223fef75c09a4f4)
on doit avoir
![{\displaystyle r\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{m}}=2r'\operatorname {Tang} .{\frac {\varpi }{2m}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f726e0d0a52325aba974c051557185b9aa93c62a)
(3)
Si l’on élimine
de cette dernière équation, au moyen des deux précédentes ; il viendra
![{\displaystyle R\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{m}}=2R'\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcf42209bbbdfbbae69300c6bdf7aa811328bd84)
ou bien
![{\displaystyle 2R\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}}\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}=2R'\operatorname {Sin} .{\frac {\varpi }{2m}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/534284ba451f022b8534ca0124ff5e0a0c73fa96)
ou en réduisant
![{\displaystyle R\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{2m}}=R',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5f1ce6d0a56db5ada00902a13e1082213d48e58)
équation qui, combinée par multiplication avec l’équation (2) donne
![{\displaystyle Rr'=R'^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e0e4774c395c81b32fbf1c1d6120291d9390a7)
(4)
qui est la seconde de nos deux propositions,.
On a en outre
![{\displaystyle 2\operatorname {Cos} .^{2}{\frac {\varpi }{2m}}=1+\operatorname {Cos} .{\frac {\varpi }{m}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5114472913c96b0b9fa47699b320b71a61b480e4)