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AU DIAMÈTRE.
Soit
(fig. 3) un triangle, rectangle en
soit prolongé le côté
au-delà du point
de manière que son prolongement
soit égal à l’hypothénuse
Soit menée
et soit abaissée du point
sur cette droite la perpendiculaire
enfin soit menée
parallèle à
Voici ce qui résulte de cette construction :
Le triangle
ayant ses deux côtés
et
égaux, doit aussi avoir les angles opposés égaux, et conséquemment
l’un d’eux est égal à leur demi-somme ; cet angle
est donc aussi moitié de l’angie extérieur
En outre, le point
étant le milieu de
il s’ensuit que
est la moitié de
ainsi, on a en même temps
![{\displaystyle \mathrm {S'M'} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {SM} ,\qquad Ang.\mathrm {S'C'M'} ={\tfrac {1}{2}}Ang.\mathrm {SCM} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6308a141623ffac5c7bc8b0133eead454de2d57f)
Il résulte de là que, si l’on suppose que
soit un demi-côté d’un polygone régulier de
côtés, dont
soit le centre,
sera un demi-côté du polygone régulier de
côtés, de même contour, dont
sera le centre. Or, il est clair que
et
seront les rayons des cercles inscrit et circonscrit au premier ; et que
et
seront les rayons des cercles inscrit et circonscrit au dernier : ainsi l’on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {CM} =r,&\qquad \mathrm {C'M'} =r',\\\mathrm {CS} =R,&\qquad \mathrm {C'S'} =R',\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359b494c92e18afd8ce33a6e7c7b2bd07684a86e)
Or, le point
étant le milieu de
on doit avoir ![{\displaystyle 2\mathrm {C'M'} =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46316ca3efe603769e7e457d85712e2c19b81e3f)
et de plus le triangle
rectangle en
donne
donc
et
; c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\tfrac {\cdot }{\cdot }}r.r'.R\,;\qquad {\tfrac {\cdot \cdot }{\cdot \cdot }}r':R':R\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714be2657908cae5cd5b1d2374c29942f0d2169e)
comme nous l’avions annoncé.