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DE GÉOMÉTRIE.
![{\displaystyle q^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+2BC\operatorname {Cos} .\alpha +2CA\operatorname {Cos} .\beta +2AB\operatorname {Cos} .\gamma \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecf45edaf98a382ce3b0ced3277e1ebb10c298a)
est donc la diagonale du parallélépipède construit sur les grandeurs et directions de nos trois demi-diamètres conjugués. Les équations de la droite mobile sont d’ailleurs (2) et (6)
![{\displaystyle X=x+{\frac {A}{q}}r,\qquad Y=y+{\frac {B}{q}}r,\qquad Z=z+{\frac {C}{q}}r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223667e9c215fdd4423386675934cfc307a7577)
PROBLÈME III. Quelle courbe décrit un quelconque des points d’une droite mobile, dont deux autres points sont assujettis à être perpétuellement sur deux droites fixes tracées sur un même plan ?
Solution. En conservant les mêmes notations et conventions que dans le Problème I, nous aurons comme alors
![{\displaystyle (x+ar)(y+br)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3221991e22605ffb98bacfc2b938e93bdced910e)
mais ici les racines doivent être deux constantes ; en les représensentant donc par
et
nous aurons
![{\displaystyle g=-{\frac {x}{a}},\qquad h=-{\frac {y}{b}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9379384f8dbc338232238079e38fd97ae3af034)
d’où
![{\displaystyle a=-{\frac {x}{g}},\qquad b=-{\frac {y}{h}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9529b21ee6ee1d9e970eebbb508f9ec1f447fbee)
substituant donc dans
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\operatorname {\operatorname {Cos} } .\gamma =1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad424e2d924546bbdf3f097d1ceb61a01ed7652)
nous aurons, pour l’équation de la ligne cherchée
![{\displaystyle {\frac {x^{2}}{g^{2}}}+{\frac {y^{2}}{h^{2}}}+2{\frac {xy}{gh}}\operatorname {Cos} .\gamma =1\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9f5ff7a2b6cce893385ece1b3039021d16ee2f6)