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PROBLÈMES
![{\displaystyle XYZ=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de1931bb9c11ce2d02b658e9d798aeb41427d2d)
(1)
en prenant donc pour les équations de la droite mobile
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}X&=x+ar,\\Y&=y+br,\\Z&=z+cr\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40b4c09cd16d0cf64a14c426b7f262341fbcaf33)
(2)
ce qui donne
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma =1\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2043ac584f5843ffaede844eafbdf3b16a9bdf20)
(3)
nous aurons en substituant (2) dans (1)
![{\displaystyle (x+ar)(y+br)(z+cr)=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fea86126ee6250fd4efa03c2ec26eb5217d9697)
(4)
Si nous représentons par
les trois racines de cette équation, nous aurons
![{\displaystyle r=-{\frac {x}{a}},\qquad r'=-{\frac {y}{b}},\qquad r''=-{\frac {z}{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60a83d0986417b911017cce8042fdeb65a345c6)
et, par la condition du problème,
![{\displaystyle \pm {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=q^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a9b4fa8e23850c983e700a79bcc581d842122d)
(5)
équation d’une surface du second ordre qui a son centre à l’origine des coordonnées, c’est-à-dire, à l’intersection des trois plans fixes.
En désignant par
les moitiés des diamètres conjugués auxquels la surface se trouve rapportée, nous aurons
![{\displaystyle a={\frac {A}{q}},\qquad b={\frac {B}{q}},\qquad c={\frac {C}{q}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1e8da9759709c41b2177c4f3d4b2bbf3761faf)
ce qui donnera, en substituant dans (3),