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DE SOLEIL.

La méthode d’interpolation que nous avons employée, pour construire cette table, sera l’objet du problème qui suit :

50. PROBLÈME IV. Soit $y$ une fonction de $x,$ telle que

Pour $\ \ x=0,1,2,3,4,\ldots ,$

On ait $y=a,b,c,d,e,\ldots$

on demande de comprendre toutes ces valeurs particulières dans une seule formule, telle que

$y=A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}+\ldots ,$ et de faire connaître la loi générale des coefficiens, $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots ,$ ?

41. Solution. Désignons par $\Delta a,2\Delta ^{2}a,6\Delta ^{3}a,24\Delta ^{4}a,\ldots$ les première, seconde, troisième, quatrième,…, différences du premier terme de la colonne ; tellement que

${\begin{aligned}\Delta a&=b-a,\\2\Delta ^{2}a&=c-2b+a,\\6\Delta ^{3}a&=d-3c+3b-a,\\24\Delta ^{4}a&=e-4d+6cs-4b+a,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

on aura alors

${\begin{array}{rr}A=a&\\B=\ \ &\Delta a-\Delta ^{2}a+2\Delta ^{3}a-6\Delta ^{4}a+24\Delta ^{5}a-\ldots ,\\C=\ \ &\Delta ^{2}a-3\Delta ^{3}a+11\Delta ^{4}a-50\Delta ^{5}a+\ldots ,\\D=\ \ &\Delta ^{3}a-6\Delta ^{4}a+35\Delta ^{5}a-\ldots ,\\E=\ \ &\Delta ^{4}a-10\Delta ^{5}a+\ldots ,\\F=\ \ &\Delta ^{5}a-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\\end{array}}$

52. Les coefficiens numériques de ces suites sont les mêmes que ceux des facultés des divers degrés. La faculté de $x$ à exposant cinq,