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CALCUL

$+{\frac {7.6}{1.2}}a_{1}^{5}.2b_{1}.a_{2}b_{2}+{\frac {7}{1}}a_{1}^{6}.2b_{1}\left(a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}\right)+a_{1}^{7}.2b_{1}.b_{4}$

$+{\frac {7}{1}}a_{1}^{6}.a_{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{7}.2b_{2}b_{3}$

D’après la remarque du n.^o 17, qui s’applique également ici, le procédé du n.^o précédent donne aussi le moyen de calculer immédiatement un terme quelconque du développement d’une fonction quelconque de deux polynômes indépendans $\phi \left(a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,b+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots \right)\,;$ il suffit pour cela de remplacer, dans la formule (67) les produits des dérivées de $\phi a$ et $\psi b$ par les dérivées partielles correspondantes de $\phi (a,b)$ ; et le n.^o précédent fait voir avec quelle facilité le calcul des dérivations fournit la solution de ce problème compliqué, et intraitable par les méthodes ordinaires.

40. La règle du n.^o 28 est un corollaire bien simple de celles des n.^os 15 et 35 ; en effet, la forme du terme général (48), $nB_{n}={\frac {\operatorname {D} ^{n-1}\left(c^{-n}.\operatorname {D} .\phi b\right)}{1.2\ldots (n-1)}},$ étant comparée à celle (17) $A_{n-1}n={\frac {\operatorname {D} ^{n-1}.\left(\phi a\psi b\right)}{1.2\ldots (n-1)}},$ fait voir qu’on obtient la première, en remplaçant, dans celle-ci $\psi b$ par $c^{-n},$ et $\phi a$ par $\operatorname {D} .\phi b.$ Les règles de développement doivent donc être les mêmes pour l’une et l’autre formes, sauf les différences suivantes : 1.^o l’exposant de $c$ diminuant d’une unité d’un terme à l’autre, il faut faire subir à chaque terme, avant d’en déduire le suivant, la préparation du n.^o 35 ; 2.^o  $\phi a$ étant remplacé par $\operatorname {D} .\phi b,$ il, ensuit qu’on a, en général, ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.\operatorname {D} .\phi b}{1.2\ldots r}}={\frac {\operatorname {D} ^{r+1}.\phi b}{1.2\ldots r}}=(r+1){\frac {\operatorname {D} ^{r+1}.\phi b}{1.2\ldots (r+1)}},$ et ${\frac {\operatorname {D} ^{r}.\operatorname {D} .\phi b}{1.2\ldots r}}$$=(r+1){\frac {\operatorname {D} ^{r+1}.\phi b}{1.2\ldots (r+1)}}\,;$ ce qui produit les coefficiens numériques égaux aux exposans de dérivation ; 3.^o enfin, nous avons ordonné différemment les termes des équations (50), en transformant les lignes horizontales des équations (18) en colonnes, et réciproquement : il en est résulté que les dernières colonnes des équations (18) sont devenues les derniers termes de chaque colonne des équations