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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

l’une des équations (24), combinée avec les équations (22), fera connaître les sommets.

Parvenus à l’équation (26), on pourra poursuivre la discussion, comme l’a fait M. Bérard, à la page 110 du troisième volume de ce recueil.

Dans le cas particulier où l’on aura

$ABC-AA'^{2}-BB'^{2}-CC'^{2}+2ABC=0,\qquad$(28)

la surface, n’ayant point de centre, n’aura qu’un seul diamètre principal que l’on pourra déterminer comme il suit : les équations du diamètre deviendront alors

${\begin{aligned}x-x'&={\tfrac {A''(A'-BC)+B''(CC'-A'B')+C''(BB'-C'A')}{C''(C'^{2}-AB)+A''(BB'-C'A')+B''(AA'-B'C')}}(z-z'),\\y-y'&={\tfrac {B''(B'^{2}-CA)+C''(AA'-B'C')+A''(CC'-A'B')}{C''(C'^{2}-AB)+A''(BB'-C'A')+B''(AA'-B'C')}}(z-z').\\\end{aligned}}$

En exprimant donc que ce diamètre est perpendiculaire au plan tangent à son extrémité, donné par l’équation (13), on aura deux équations en $x',y',z'$ qui, combinées avec l’équation (10), ne donneront, pour ces trois coordonnées, en ayant égard à la relation (28), qu’un seul système de valeurs lesquelles seront les coordonnées du sommet cherché. Il est aisé de voir qu’alors tous les diamètres seront parallèles.

Lorsque, comme on le fait ordinairement dans les traités élémentaires, on suppose les axes des coordonnées rectangulaires, les dernières recherches et les résultats qu’on en obtient se simplifient considérablement.