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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+2(Aa+C'b+B'c+A'')x\\&+2(C'a+Bb+A'c+B'')y\\&+2(B'a+A'b+Cc+C'')z\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40c94c8523c4242d1342d590f89bee48a87acdb2)
![{\displaystyle +D-Aa^{2}-Bb^{2}-Cc^{2}-2A'bc-2B'ca-2C'ab=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30193a6a3c7481911c97bb953bfc827b5f7c5a7a)
posant, pour abréger,
![{\displaystyle Aa^{2}+Bb^{2}+Cc^{2}+2A'bc+2B'ca+2C'ab-D=\Delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b6827f25369e84c0f8ee46697d606660055ab3)
et remarquant qu’en vertu des équations (7) les coefficiens des premières puissances de
sont nuls, elle deviendra simplement
![{\displaystyle A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+C(z-c)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2db987a242440cd21005f5aa1417ec144b35d0)
![{\displaystyle +2A'(y-b)(z-c)+2B'(z-c)(x-a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f231345f3727d835577f7c55386be772f95d81)
![{\displaystyle +2C'(x-a)(y-b)=\Delta .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d6f43637cf35793189ceec0aaf6bf36ab70036)
(23)
Cela posé, si, dans les équations (21) et (23), on introduit, pour
et
les valeurs données par les équations (22), elles deviendront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(z-c)^{2}&\left\{1+m^{2}+n^{2}+2n\operatorname {Cos} .\alpha +2m\operatorname {Cos} .\beta +2mn\operatorname {Cos} .\gamma \right\}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =r^{2},\\(z-c)^{2}&\left\{C+Am^{2}+Bn^{2}+2A'n+2B'm+2C'mn\right\}=\Delta \,;\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677dd4b2e1f6059a0d51eb6e512369dff774341f)
(24)
équations entre lesquelles éliminant
, il viendra