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DISCUSSION DES LIGNES.
Or, en éliminant
entre les équations (16) et (18), et
entre les équations (17) et (19),
disparaîtra de lui-même des équations résultantes, et elles seront
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(m\operatorname {Cos} .\gamma +n&+\operatorname {Cos} .\alpha )(B'm+A'n+C)\\-&(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(C'm+Bn+A')=0,\\(m+n\operatorname {Cos} .\gamma &+\operatorname {Cos} .\beta )(B'm+A'n+C)\\-&(m\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\alpha +1)(Am+C'n+B')=0\,;\\\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be3bef0fc94e3d1d759630b21cc7760a0cb2dc6)
(20)
De ces deux équations on déduirait une équation finale en
qui serait du troisième degré seulement, et dont par conséquent les racines seraient les valeurs de
On aurait de plus une valeur de
fonction de
laquelle deviendrait
et
en y changeant
en
et
mais il sera plus convenable d’opérer comme il suit.
Soient
les coordonnées de l’un quelconque des sommets de la surface courbe, et
sa distance au centre ou la longueur du demi-diamètre principal qui lui répond ; en continuant, pour abréger, de représenter par
les coordonnées du centre, données par les formules (9), nous aurons, à la fois,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(x-a)^{2}+2(y-b)(z-c)\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(y-b)^{2}+2(z-c)(x-a)\operatorname {Cos} .\beta \\+&(z-c)^{2}+2(x-a)(y-b)\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}=r^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e186dde5de98b31942aa38c9a49dad5ea267f7ed)
(21)
![{\displaystyle x-a=m(z-c),\qquad y-b=n(z-c)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500230396150bb37a7f0c1a2a3f248b7a2bf096a)
(22)
en outre l’équation (1) peut facilement être mise sous cette forme
![{\displaystyle A(x-a)^{2}+B(y-b)^{2}+C(z-c)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2db987a242440cd21005f5aa1417ec144b35d0)
![{\displaystyle +2A'(y-b)(z-c)+2B'(z-c)(x-a)+2C'(x-a)(y-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b87fa34c634b7b4d6c42302beba0a61cfccd9c)