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DISCUSSION DES LIGNES.

sont les sommets. Pour s’assurer de l’existence de tels diamètres, dans les surfaces du second ordre, et en fixer la direction, il faut joindre aux équations (6) les équations suivantes

\left.{\begin{aligned}1+mm'+nn'+&(mn'+m'n)\operatorname {Cos} .\gamma \\+&(m+m')\operatorname {Cos} .\beta +(n+n')\operatorname {Cos} .\alpha =0,\\1+m'm''+n'n''+&(m'n''+m''n')\operatorname {Cos} .\gamma \\+&(m'+m'')\operatorname {Cos} .\beta +(n'+n'')\operatorname {Cos} .\alpha =0,\\1+m''m+n''n+&(m''n+mn'')\operatorname {Cos} .\gamma \\+&(m''+m)\operatorname {Cos} .\beta +(n''+n)\operatorname {Cos} .\alpha =0\,;\\\end{aligned}}\right\}

(15)

qui expriment^[1] que les diamètres conjugués sont, deux à deux, perpendiculaires l’un à l’autre.

\left.{\begin{aligned}&\left\{(m+p)+np\operatorname {Cos} .\alpha +(1+mp)\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\gamma \right\}a'\\+&\left\{(n+q)+mq\operatorname {Cos} .\beta +(1+nq)\operatorname {Cos} .\alpha +m\operatorname {Cos} .\gamma \right\}b'\\\end{aligned}}\right\}=0\,;

et, comme $a',b'$ doivent demeurer indéterminés et indépendans, les conditions cherchées seront

{\begin{aligned}(m+p)+np\operatorname {Cos} .\alpha +(1+mp)\operatorname {Cos} .\beta +n\operatorname {Cos} .\gamma &=0,\\(n+q)+mq\operatorname {Cos} .\beta +(1+nq)\operatorname {Cos} .\alpha +m\operatorname {Cos} .\gamma &=0.\\\end{aligned}}

De là on passera aux plans tangens et aux normales par des points extérieurs et, par suite, aux surfaces coniques circonscrites et à leurs lignes de contact. On sera conduit ainsi à exposer les propriétés des surfaces du second ordre, relativement à ce qu’on est convenu d’appeler leurs pôles. On pourra consulter à ce sujet, ce qui a été dit aux pages 293 et 302 du 3.^me volume de ce recueil.

↑ Soient, en effet, $(x=mz,y=nz),(x=m'z,y=n'z)$ deux droites que, pour plus de simplicité, nous supposons passer par l’origine ; nous exprimerons qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre, en exprimant que deux points $(a,b,c),$

[p88-1] Soient, en effet, $(x=mz,y=nz),(x=m'z,y=n'z)$ deux droites que, pour plus de simplicité, nous supposons passer par l’origine ; nous exprimerons qu’elles sont perpendiculaires l’une à l’autre, en exprimant que deux points $(a,b,c),$

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