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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

et pourra indistinctement exprimer toutes les surfaces du second ordre. Cette dernière équation a donc, dans le fond, autant de généralité que l’équation (1) ; du moins lorsque cette dernière n’est point généralement absurde ; c’est-à-dire, toutes les fois qu’il existe au moins un système de valeurs de $x,y,z$ qui y satisfait.^[1]

Les diamètres conjugués rectangulaires d’une surface courbe sont ce qu’on appelle ses Diamètres principaux, et leurs extrémités en

1. Sachant ainsi mener un plan tangent à la surface, par un de ses points, il ne sera pas difficile de lui mener une normale par le même point. Il ne s’agira pour cela que de connaître les conditions de perpendiculaire entre un plan et une droite. Or, en supposant, pour plus de simplicité, que l’un et l’autre passent par l’origine, que la droite est $(x=mz,y=nz)$ et que le plan est $z=px+qy,$ il suffira d’exprimer que deux points $(a,b,c),(a',b',c')$ pris arbitrairement sur l’une et l’autre sont les extrémités de l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont le sommet de l’angle droit est à l’origine ; cette condition donne
   $\left.{\begin{aligned}&(a-a')^{2}+2(b-b')(c-c')\operatorname {Cos} .\alpha \\+&(b-b')^{2}+2(c-c')(a-a')\operatorname {Cos} .\beta \\+&(c-c')^{2}+2(a-a')(b-b')\operatorname {Cos} .\gamma \\\end{aligned}}\right\}$
   
   
   $=\left\{{\begin{aligned}&a^{2}+b^{2}+c^{2}+2bc\operatorname {Cos} .\alpha +2ca\operatorname {Cos} .\beta +2ab\operatorname {Cos} .\gamma \\+&a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}+2b'c'\operatorname {Cos} .\alpha '+2c'a'\operatorname {Cos} .\beta '+2a'b'\operatorname {Cos} .\gamma \,;\\\end{aligned}}\right.$

   ou en réduisant

   $aa'+bb'+cc'+(bc'+cb')\operatorname {Cos} .\alpha +(ca'+ac')\operatorname {Cos} .\beta +(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma \,;$

   mais, par la situation des deux points, on a

   $a=mc,\qquad b=ac,\qquad c'=pa'+qb'\,;$

   substituant donc, il viendra, en divisant par $c$,