Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/8

4

PROBLÈMES.

malie vraie $\phi ,$ à laquelle répondent l’excentrique $\varkappa$ et le rayon vecteur $\mathrm {SM} =r,$ on aura les équations qui suivent :

${\begin{aligned}r=&{\frac {b\operatorname {Cos} .^{2}\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\\\operatorname {Sin} .\varkappa =&{\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\phi }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }},\\\operatorname {Cos} .\varkappa =&{\frac {\operatorname {Cos} .\phi -\operatorname {Sin} .\mu }{1-\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\phi }}.\\\end{aligned}}$

${\frac {p}{q}}(\theta -\delta -\mu )=\varkappa +\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa .$

74. En éliminant de toutes ces formules l’anomalie vraie \phi, et en conservant la seule anomalie excentrique $\varkappa ^{\theta },$ à laquelle nous aurons soin de tout réduire, les égalités précédentes seront transformées dans celles qui suivent :

${\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\phi =&{\frac {\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},\\\operatorname {Cos} .\phi =&{\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }}.\\\end{aligned}}$

$r=b(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa )\,;$

ce qui donne

${\begin{aligned}r\operatorname {Sin} .\phi =&b\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa ),\\r\operatorname {Cos} .\phi =&b(\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu ).\\\end{aligned}}$

75. En abaissant du point $\mathrm {M}$ qui est le lieu de l’astre dans son orbite, la perpendiculaire $\mathrm {MN}$ sur la ligne des nœuds, les deux coordonnées de ce point seront exprimées comme il suit :

${\begin{aligned}MN=&r\operatorname {Cos} .(\epsilon +\phi )=bP,\\SN=&r\operatorname {Sin} .(\epsilon +\phi )=bQ\,;\\\end{aligned}}$

ce qui donne