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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

Lorsque, comme on le fait communément dans les traités élémentaires, on suppose les axes des coordonnées rectangulaires, les dernières recherches et les résultats qu’on en obtient se simplifient considérablement.

§. II.

Discussion des surfaces du second ordre.

Soit l’équation

$Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+2A'yz+2B'zx+2C'xy$

$+2A''x+2B''y+2C''z+D=0,\qquad$(1)

exprimant une surface rapportée à deux axes quelconques, formant entre eux des angles $\alpha ,\beta ,\gamma .$ Soient de plus

$x=mz+g,\qquad y=nz+h,\qquad$(2)

les équations d’une droite quelconque. En éliminant $x$ et $y$ entre elles et l’équation (1), il viendra

$(Am^{2}+Bn^{2}+C+2A'n+2B'm+2C'mn)z^{2}$

$+2\left\{(Am+C'n+B')g+(C'm+Bn+A')h+(A''m+B''n+C'')\right\}$

$+(Ag^{2}+Bh^{2}+2C'gh+2A''g+2B''h+D)=0.\qquad$(3)

En raisonnant comme dans le §. précédent, on verra que le milieu de la corde interceptée par (1) sur (2) est donné par les équations (2), jointes à l’équation

$z=-{\tfrac {(Am+C'n+B')g+(C'm+Bn+A')h+(A''m+B''n+C'')}{Am^{2}+Bn^{2}+2C'mn+2B'm+2A'n}}.\qquad$(4)

Si donc on élimine $g$ et $h$ entre elles, l’équation résultante, en $x,y,z,$ sera celle du lieu des milieux des cordes parallèles à (2). Cette équation est, toutes réductions faites,