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DISCUSSION DES LIGNES.

$(Br^{2}-\Delta )m^{2}+2(Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma )m+(Ar^{2}-\Delta )=0,$

éliminant enfin $m$ entre cette équation et l’équation (20) on aura d’abord

$(AB-C^{2})r^{4}-\Delta (A-2C\operatorname {Cos} .\gamma +B)r^{2}+\Delta ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =0,\qquad$(26)

et ensuite

$m=-{\frac {Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma }{Br^{2}-\Delta }}=-{\frac {Ar^{2}-\Delta }{Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma }},\qquad$(27)

L’équation (26) donnera les longueurs des demi-diamètres principaux ; les formules (27) en détermineront la direction ; et ensuite l’une des équations (25), combinée avec l’équation (22), fera connaître les sommets.

Parvenus à l’équation (26), on pourra poursuivre la discussion, comme l’a fait M. Bérard à la page 106 du 3.^me volume de ce recueil.

Dans le cas particulier où l’on aura $AB=C^{2},$ la courbe, n’ayant point de centre, n’aura qu’un diamètre principal et conséquemment qu’un seul sommet que l’on pourra déterminer comme il suit. L’équation (16) du diamètre deviendra simplement

$y-y'={\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}(x-x'),$

en exprimant donc que ce diamètre est perpendiculaire à la tangente à son extrémité, donnée par l’équation (18) il viendra

$1+\left\{{\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}-{\frac {Ax'+Cy'+A'}{By'+Cx'+B'}}\right\}\operatorname {Cos} .\gamma$

$-{\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}.{\frac {Ax'+Cy'+A'}{By'+Cx'+B'}}=0;$

équation qui, combinée avec l’équation (15), ne donnera, en ayant égard à la relation $AB=C^{2},$ qu’un seul système de valeurs de $x$ et $y'$ lesquelles seront les coordonnées du sommet. Il est aisé de voir qu’alors tous les diamètres seront parallèles.