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DISCUSSION DES LIGNES.
![{\displaystyle (Br^{2}-\Delta )m^{2}+2(Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma )m+(Ar^{2}-\Delta )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcdda7a342c47a239595185ad00ee96011a6054f)
éliminant enfin
entre cette équation et l’équation (20) on aura d’abord
![{\displaystyle (AB-C^{2})r^{4}-\Delta (A-2C\operatorname {Cos} .\gamma +B)r^{2}+\Delta ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma =0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8547b858727e24c7acd1ca26d5959e8289474db)
(26)
et ensuite
![{\displaystyle m=-{\frac {Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma }{Br^{2}-\Delta }}=-{\frac {Ar^{2}-\Delta }{Cr^{2}-\Delta \operatorname {Cos} .\gamma }},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c2ba331f78189b7cd7dee6d81bb2d8f30dcc76d)
(27)
L’équation (26) donnera les longueurs des demi-diamètres principaux ; les formules (27) en détermineront la direction ; et ensuite l’une des équations (25), combinée avec l’équation (22), fera connaître les sommets.
Parvenus à l’équation (26), on pourra poursuivre la discussion, comme l’a fait M. Bérard à la page 106 du 3.me volume de ce recueil.
Dans le cas particulier où l’on aura
la courbe, n’ayant point de centre, n’aura qu’un diamètre principal et conséquemment qu’un seul sommet que l’on pourra déterminer comme il suit. L’équation (16) du diamètre deviendra simplement
![{\displaystyle y-y'={\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}(x-x'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728bb2435d1b6b1b54d8f5433ba31a308ce4da1e)
en exprimant donc que ce diamètre est perpendiculaire à la tangente à son extrémité, donnée par l’équation (18) il viendra
![{\displaystyle 1+\left\{{\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}-{\frac {Ax'+Cy'+A'}{By'+Cx'+B'}}\right\}\operatorname {Cos} .\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd774f8ddcb5684970f63b7e5a11e54eef440377)
![{\displaystyle -{\frac {AB'-CA'}{BA'-CB'}}.{\frac {Ax'+Cy'+A'}{By'+Cx'+B'}}=0;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5758277b281d794abfad1e0b7c574c53055a5e)
équation qui, combinée avec l’équation (15), ne donnera, en ayant égard à la relation
qu’un seul système de valeurs de
et
lesquelles seront les coordonnées du sommet. Il est aisé de voir qu’alors tous les diamètres seront parallèles.