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DISCUSSION DES LIGNES.

Les diamètres conjugués rectangulaires sont ce qu’on appelle les diamètres principaux de la courbe, et leurs extrémités en sont les sommets. Pour obtenir les directions de ces diamètres, il suffira de joindre à l’équation

$A+C(m+m')+Bmm'=0,\qquad$(9)

l’équation suivante

$1+(m+m')\operatorname {Cos} .\gamma +mm'=0\qquad$(20)

qui exprime que les deux diamètres sont perpendiculaires l’un à l’autre^[1]. La symétrie de ces équations prouve que $m$ et $m'$ seront donnés par une même équation du second degré, et qu’ainsi il n’y a qu’un système unique de diamètres principaux.

Soient $x,y$ les coordonnées de l’un des sommets de la courbe, et $r$ sa distance au centre ou la longueur du demi-diamètre principal qui lui répond ; représentons toujours, pour abréger, par $a,b$ les coordonnées du centre, données par les formules (13), nous aurons, à la fois,

1. Soient en effet deux droites $y=mx,y=m'x,$ passant par l’origine des coordonnées que nous supposons former entre elles un angle $\gamma .$ Pour exprimer que ces droites sont perpendiculaires l’une à l’autre, il est nécessaire et il suffit d’exprimer que deux points $(a,b),(a',b')$ pris respectivement sur l’une et l’autre sont les extrémités de l’hypothénuse d’un triangle rectangle dont le sommet de l’angle droit est à l’origine. Cette condition donne
   $(a-a')^{2}+2(a-a')(b-b')\operatorname {Cos} .\gamma +(b-b')^{2}$
   $=a^{2}+2ab\operatorname {Cos} .\gamma +b^{2}+a'^{2}+a'b'\operatorname {Cos} .\gamma +b'^{2}$

   ou en réduisant

   $aa'+bb'+(ab'+ba')\operatorname {Cos} .\gamma =0;$

   mais on a d’ailleurs

   $b=ma,\qquad b'=m'a',$

   ce qui donnera, en substituant et divisant par $aa',$ l’équation mentionnée dans le texte.