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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

ou enfin, en ajoutant l’équation de la relation (13) et réduisant,

(By'+Cx'+B')y+(Ax'+Cy'+A')x+(A'x'+B'y'+D)=0,

ou encore

Axx'+Byy'+C(xy'+x'y)+A'(x+x')+B'(y+y')+D=0.

(18)

Cette droite ayant un point commun avec la courbe, et ne pouvant d’ailleurs en être une corde, puisqu’alors ce point en serait à la fois le milieu et l’extrémité ; il faut en conclure que c’est une tangente à cette courbe.

Si l’on suppose que la tangente est l’axe des $y,$ et que le diamètre au conjugué duquel elle est parallèle est l’axe des $x$ : auquel cas son point de contact avec la courbe sera l’origine ; leurs équations devront être respectivement $x=0,y=0\,;$ on devra donc avoir, outre $x'=0,y'=0,$ les conditions $B'=0,C=0,D=0,$ en sorte que l’équation (1) deviendra simplement

Ax^{2}+By^{2}+2A'x=0.\qquad

(19)

Telle est donc la forme que prend l’équation de la courbe, lorsqu’on prend pour axes un diamètre et la tangente à son extrémité, ce qui est toujours possible, toutes les fois que l’équation (1) n’est point absurde d’elle-même ; c’est-à-dire, toutes les fois qu’il y a au moins un système $x',y'$ de coordonnées réelles, qui y satisfait. La discussion, très-facile, de l’équation (19) fera donc connaître toutes les courbes que peut exprimer l’équation (1).^[1]

↑ Sachant mener une tangente à la courbe par un de ses points, il ne sera pas difficile de lui mener une normale par le même point. De là on passera à la tangente et à la normale par un point extérieur. Nous nous bornons à indiquer ces divers objets, sur lesquels nous n’aurions rien de nouveau à dire. Mais nous ne devons pas négliger de remarquer que ce sera naturellement ici le lieu de faire mention des belles propriétés dont jouissent ce qu’on est convenu d’appeler les pôles de lignes du second ordre. On pourra consulter à ce sujet les pages 293 et 302 du troisième volume de ce recueil.

[1] Sachant mener une tangente à la courbe par un de ses points, il ne sera pas difficile de lui mener une normale par le même point. De là on passera à la tangente et à la normale par un point extérieur. Nous nous bornons à indiquer ces divers objets, sur lesquels nous n’aurions rien de nouveau à dire. Mais nous ne devons pas négliger de remarquer que ce sera naturellement ici le lieu de faire mention des belles propriétés dont jouissent ce qu’on est convenu d’appeler les pôles de lignes du second ordre. On pourra consulter à ce sujet les pages 293 et 302 du troisième volume de ce recueil.

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