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ET SURFACES DU SECOND ORDRE.

les diamètres exprimés par les équations (11) devraient être respectivement parallèles aux axes des $x$ et des $y$ on devrait donc avoir, dans ces équations, et conséquemment dans l’équation (1), $C=0.$ Ainsi, le parallélisme des axes des coordonnées avec deux diamètres conjugués jouit de la propriété de priver l’équation (1) du rectangle des coordonnées ; il est de plus aisé de voir que c’est là la seule circonstance où elle puisse en être privée.

Si le centre de la courbe se confondait avec l’origine, les équations (11) devraient appartenir à deux droites passant par cette origine : on devrait donc avoir à la fois $A'=0,B'=0.$ Ainsi, la situation du centre à l’origine des coordonnées jouit de la propriété de priver l’équation (1) des premières puissances des deux variables, et il est de plus aisé de voir qu’elle en jouit exclusivement.

Si donc on prend pour axes des coordonnées deux diamètres conjugués quelconques, l’équation (1) prendra la forme très-simple.

$Ax^{2}+By^{2}+D=0,\qquad$(12)

sous laquelle la discussion en deviendra incomparablement plus facile.

Mais ceci suppose que les droites (11) concourent effectivement en un même point. En combinant leurs équations, on en tire

$x={\frac {BA'-CB'}{C^{2}-AB}},\qquad y={\frac {AB'-CA'}{C^{2}-AB}},\qquad$(13)

d’où l’on voit que, si l’on a $C^{2}-AB=0,$ la courbe n’a plus de centre, ou que du moins son centre étant infiniment éloigné des axes primitifs ne saurait plus être pris pour origine. Nous verrons bientôt, au surplus, que la courbe est susceptible d’être exprimée par une équation fort simple qui convient également au cas où elle a un centre et à celui où elle en est dépourvue.

Si l’on avait à la fois les trois relations