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DISCUSSION DES LIGNES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

conjugués, mais qu’en outre tout diamètre d’une telle ligne en a nécessairement un qui lui est conjugué.

D’après ce qui précède, les équations de deux diamètres, conjugués ou non conjugués, peuvent être représentées ainsi qu’il suit :

${\begin{aligned}(A+Cm)x+(C+\ \,Bm)y+(A'+\ B'm)&=0,\\(A+Cm')x+(C+Bm')y+(A'+B'm')&=0.\end{aligned}}\quad$(10)

Pour connaître le point où ils se coupent, il faudra combiner ces équations entre elles. Mais si, auparavant, on prend leur différence, puis la différence de leurs produits respectifs par $m'$ et $m,$ en divisant chaque fois par $m-m',$ il viendra

${\begin{aligned}Cx+By+B'&=0,\\Ax+Cy+A'&=0.\\\end{aligned}}\quad$(11)

Ainsi, dans la recherche de l’intersection des deux diamètres, on pourra remplacer le système des équations (10) par le système des équations (11) ; et puisque ces dernières sont indépendantes, de $m$ et $m',$ il en faut conclure que tous les diamètres des lignes de second ordre se coupent en un même point. Il est de plus aisé de voir que ce point doit être leur milieu commun, puisqu’à chaque diamètre répond un conjugué qui doit le couper en son milieu. Le milieu commun de tous, les diamètres d’une ligne de second ordre est ce qu’on appelle le centre de cette courbe.

Nous remarquerons, avant d’aller plus, loin, que les équations (11) notant autre chose que ce que devient l’équation (6), lorsqu’on y fait successivement $m=0,m=\infty \,;$ il en résulte que ces équations (11) sont respectivement celles des diamètres qui coupent en deux parties, égales les cordes, parallèles à l’axe des $y$ et les cordes parallèles à l’axe des $x\,;$ c’est-à-dire, en d’autres, termes, que ces équations sont celles des conjugués des diamètres respectivement parallèles aux axes des $y$ et des $x.$

Si donc, les axes étaient parallèles à deux diamètres conjugués,