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DISCUSSION DES LIGNES.

cordes toutes parallèles entre elles. On obtiendra donc l’équation du lieu géométrique de ces milieux, en éliminant, entre ces deux formules[1] ; ce qui donnera, par la suppression du facteur commun à tous les termes de l’équation résultante,

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  1. Les commençans ont d’ordinaire quelque peine à bien comprendre comment ces sortes d’éliminations de constantes conduisent au but où l’on veut atteindre : et c’est qu’en effet la raison qu’on leur en donne communément est plus métaphysique que mathématique. Il me semble que la chose devient évidente, en raisonnant à peu près comme il suit :

    Soient

    les équations de deux courbes rapportées aux mêmes axes. Si, en les considérant comme les équations d’un même problème déterminé à deux inconnues, on en tire les valeurs de et ces valeurs, fonctions de seront les coordonnées de l’intersection des deux courbes.

    Si l’on fait varier la valeur de celle constante le point d’intersection des deux courbes variera aussi, et l’on pourra demander quelle est la courbe dont il ne sortira jamais, quelque valeur que l’on puisse donner à

    Pour résoudre cette question, on considérera qu’en supposant déterminée, le point d’intersection des deux courbes n’est pas seulement donné par les deux équations mais encore par tout système de deux équations que l’on voudra déduire de leur combinaison, ou encore par le système de l’une quelconque d’entre elles et d’une combinaison quelconque de l’une et de l’autre.

    Donc, en particulier, on pourra, dans la recherche du point dont il s’agit, remplacer l’équation par le résultat de l’élimination de entre elle et l’équation en sorte que, si ce résultat est

    le système des équations pourra, dans la recherche du point d’intersection des deux courbes, remplacer celui des équations

    Mais, lorsque la constante varie, la courbe (7) demeure constamment la même ; d’où il suit que cette courbe doit contenir tous les points d’intersection que l’on déduirait de la combinaison des équations en donnant successivement à la constante toutes les valeurs imaginables ; cette courbe est donc la courbe demandée.

    Rien ne serait plus facile que d’étendre ces considérations à la géométrie à trois dimensions.