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QUESTIONS
et telles sont les équations qui donnent la situation du mobile à chaque instant ; on en tire
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=b+4{\sqrt {g}}e^{t{\sqrt {g}}}.{\frac {1-6e^{2t{\sqrt {g}}}+e^{4t{\sqrt {g}}}}{\left(1+e^{2t{\sqrt {g}}}\right)^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2081e544c1b4fd215de9e1c609388066853ec2d)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=-16{\sqrt {g}}e^{2t{\sqrt {g}}}.{\frac {1-e^{2t{\sqrt {g}}}}{\left(1+e^{2t{\sqrt {g}}}\right)^{3}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e40acf7b366be93fd957505b0e45c4138094fd)
l’élimination de
et de
entre ces deux équations et la valeur de
donnerait l’équation différentielle de la trajectoire ; mais cette équation serait probablement fort compliquée.
Si l’on fait
on trouve
ce qui prouve que les constantes sont déterminées conformément aux conditions particulières de la question.
Si l’on égale la valeur de
à zéro, il vient
![{\displaystyle e^{4t{\sqrt {g}}}-6e^{2t{\sqrt {g}}}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3751705ba79575a32170231413ebc44aa04ae584)
d’où
![{\displaystyle e^{2t{\sqrt {g}}}=3\pm 2{\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ae4a461199e6d22d105adb4320e9b9beded88f)
et par conséquent
![{\displaystyle t={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}Log.(3\pm 2{\sqrt {2}}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503abe59ee606e33f097a8422dcb4fedf42f1960)
ce qui donne pour
deux valeurs, l’une positive et l’autre négative, c’est-à-dire, antérieure à l’époque d’où on compte les temps.